Um carro se move segundo a equação x=tt^2+1. Calcule a sua velocidade e sua aceleração no instante t=2 s.
20 m / s e 10 m / s^2
0,005 m / s e 10 m / s^2
10 m / s e 5,6 m / s^2
-0,12 m / s e 0,032 m / s^2
-43 m / s e 30 m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um carro em função do tempo dada por:
x(t) = tt^2 + 1
Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração desse carro no instante segundos. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a encontrar a taxa de variação da posição (velocidade) e a taxa de variação da velocidade (aceleração).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t) = dxdt = ddt ( tt^2 + 1 ) , que é a derivada da posição v(t) = u'v - uv'v^2 = 1 cdot (t^2 + 1) - t cdot 2t(t^2 + 1)^2 = 1 - t^2(t^2 + 1)^2 em relação ao tempo . Usamos a regra do quociente para derivar:
Aplicando a regra do quociente, onde e :

Passo 3

Agora, substituímos v(2) = 1 - (2)^2(2^2 + 1)^2 = 1 - 4(4 + 1)^2 = -325 = -0,12 , m/s na expressão da velocidade para encontrar :
Isso significa que no instante segundos, a velocidade do carro é de .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a aceleração a(t) = dvdt = ddt ( 1 - t^2(t^2 + 1)^2 ) , que é a derivada da velocidade a(t) = -2t(t^2 + 1)^2 - (1 - t^2) cdot 4t(t^2 + 1)(t^2 + 1)^4 em relação ao tempo a(t) = 2t(t^2 - 3)(t^2 + 1)^3 . Novamente, usamos a regra do quociente para derivar :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, substituímos a(2) = 2 cdot 2 cdot (2^2 - 3)(2^2 + 1)^3 = 4 cdot (4 - 3)5^3 = 4125 = 0,032 , m/s^2 na expressão da aceleração para encontrar :
Isso significa que no instante segundos, a aceleração do carro é de .

Resposta

A velocidade do carro no instante segundos é e a aceleração é .

Exercícios relacionados