A velocidade v de uma partícula que se move sobre um plano x y é dada por v=(6, 0 t-4, 0 t^2) i+8, 0 j, com v em metros por segundo e t(>0 ) em segundos. Qual a aceleração média no intervalo de 0 s a 3,0 s, seu módulo e ângulo que forma com x - positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a velocidade de uma partícula que se move no plano , e a gente precisa encontrar a aceleração média nesse movimento entre 0 segundos e 3 segundos. A matéria envolvida aqui é a cinemática vetorial, que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração média a partir das velocidades nos instantes inicial e final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as velocidades da partícula nos instantes de tempo que nos interessam, ou seja, em v(t) = (6,0, t - 4,0, t^2)i + 8,0, j m/s segundos e em segundos. A equação da velocidade é dada por:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando v(0) = (6,0 times 0 - 4,0 times 0^2)i + 8,0, j = 0,i + 8,0, j = (0, 8,0) m/s :

Passo 4

Agora, calculando v(3) = (6,0 times 3 - 4,0 times 3^2)i + 8,0, j = (18 - 36)i + 8,0, j = (-18, 8,0) m/s :

Passo 5

A aceleração média ( amédia = v(t2) - v(t1)t2 - t1 é) é definida pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo analisado:
amédia = (-18, 8,0) - (0, 8,0)3 - 0 = (-18 - 0, 8 - 8, 0 - 0)3 = (-18, 0,0)3 = (-6, 0,0) m/s^2 é
Aqui, s e s. Vamos substituir os valores que encontramos:
é

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo da aceleração média, que é a intensidade desse vetor. Usamos o teorema de Pitágoras:
|amédia| = raiz(-6)^2 + 0^2 = raiz36 + 0 = 6 m/s^2 é

Passo 7

Por fim, precisamos determinar o ângulo que essa aceleração forma com o eixo tan(theta) = ayax positivo. Para isso, usamos a relação trigonométrica da tangente:
tan(theta) = 0-6 = 0
Aqui, m/s² e m/s²:
Um ângulo cuja tangente é zero é de , pois o vetor aceleração está na direção negativa do eixo .

Resposta

A aceleração média no intervalo de 0 s a 3,0 s é é. O módulo dessa aceleração é e o ângulo que ela forma com o eixo positivo é de .

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