A velocidade v de uma partícula que se move sobre um plano x y é dada por v=(6, 0 t-4, 0 t^2) i+8, 0 j, com v em metros por segundo e t(>0 ) em segundos. Calcule a posição no instante t=3,0 s, seu módulo e seu ângulo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática onde a velocidade de uma partícula que se move em um plano v = (6t - 4t^2),i + 8,j é dada pela função vetorial:
Nosso objetivo é calcular a posição da partícula no instante segundos, bem como o módulo dessa posição e o ângulo que ela forma com o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição r(t) = integral v(t),dt + r0 integrando a velocidade em relação ao tempo. A posição é obtida pela integral da velocidade:
r(t) = integral (6t - 4t^2),i,dt + integral 8,j,dt
Assumindo que a posição inicial é o ponto de origem , a equação simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular a integral para a componente integral (6t - 4t^2),dt = 3t^2 - 43t^3 + Ci :
Como estamos assumindo , a constante de integração .

Passo 4

Agora, calculamos a integral para a componente integral 8,dt = 8t + Cj :
Novamente, com , a constante de integração .

Passo 5

Assim, a posição r(t) = (3t^2 - 43t^3)i + 8t,j fica:

Passo 6

Agora, substituímos x = 3(3)^2 - 43(3)^3 = 3 times 9 - 43 times 27 = 27 - 36 = -9 , metros segundos na equação da posição:
y = 8 times 3 = 24 , metros
Portanto, a posição é .

Passo 7

Para encontrar o módulo da posição, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
|r| = raizx^2 + y^2 = raiz(-9)^2 + 24^2 = raiz81 + 576 = raiz657 approx 25,63 , metros

Passo 8

Por fim, calculamos o ângulo theta = tan^-1(yx) = tan^-1(24-9) que a posição faz com o eixo theta approx 104,04^circ usando a função tangente:
Como é negativo e é positivo, o ângulo estará no segundo quadrante:

Resposta

No instante segundos, a posição da partícula é , com módulo aproximadamente metros e formando um ângulo de com o eixo .

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