A velocidade
de uma partícula que se move sobre um plano
é dada por
, com
em metros por segundo e
) em segundos. Calcule a posição no instante
, seu módulo e seu ângulo.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cinemática onde a velocidade de uma partícula que se move em um plano
é dada pela função vetorial:
Nosso objetivo é calcular a posição da partícula no instante
segundos, bem como o módulo dessa posição e o ângulo que ela forma com o eixo
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo. A posição é obtida pela integral da velocidade:
Assumindo que a posição inicial
é o ponto de origem
, a equação simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular a integral para a componente
:
Como estamos assumindo
, a constante de integração
.
Passo 4
Agora, calculamos a integral para a componente
:
Novamente, com
, a constante de integração
.
Passo 5
Assim, a posição
fica:
Passo 6
Agora, substituímos
segundos na equação da posição:
Portanto, a posição é
.
Passo 7
Para encontrar o módulo da posição, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
Passo 8
Por fim, calculamos o ângulo
que a posição faz com o eixo
usando a função tangente:
Como
é negativo e
é positivo, o ângulo estará no segundo quadrante:
Resposta
No instante
segundos, a posição da partícula é
, com módulo aproximadamente
metros e formando um ângulo de
com o eixo
.