A velocidade de uma partícula que se move sobre um plano é dada por , com em metros por segundo e ) em segundos. Calcule a posição no instante , seu módulo e seu ângulo.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática onde a velocidade de uma partícula que se move em um plano é dada pela função vetorial:
Nosso objetivo é calcular a posição da partícula no instante segundos, bem como o módulo dessa posição e o ângulo que ela forma com o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo. A posição é obtida pela integral da velocidade:
Assumindo que a posição inicial é o ponto de origem , a equação simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular a integral para a componente :
Como estamos assumindo , a constante de integração .

Passo 4

Agora, calculamos a integral para a componente :
Novamente, com , a constante de integração .

Passo 5

Assim, a posição fica:

Passo 6

Agora, substituímos segundos na equação da posição:
Portanto, a posição é .

Passo 7

Para encontrar o módulo da posição, usamos a fórmula da magnitude do vetor:

Passo 8

Por fim, calculamos o ângulo que a posição faz com o eixo usando a função tangente:
Como é negativo e é positivo, o ângulo estará no segundo quadrante:

Resposta

No instante segundos, a posição da partícula é , com módulo aproximadamente metros e formando um ângulo de com o eixo .

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