Um carro se move com velocidade constante em uma estrada. Em um determinado instante, ele passa diante de um marco contendo um número de dois algarismos. Passada 1 h 30 min , o carro encontra outro marco contendo também um número de dois algarismos; os algarismos são os mesmos do primeiro marco, mas escritos na ordem inversa. Passado o mesmo tempo,
h 30 min , o carro encontra um terceiro marco com um número de três algarismos; o primeiro e o terceiro são os mesmos do primeiro marco e escritos na mesma ordem com um zero entre eles. Pede-se:
b) a distância entre os dois primeiros marcos.
b) a distância entre os dois primeiros marcos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. Temos um carro que está viajando numa estrada com velocidade constante. Em um certo momento, ele passa por um marco que tem um número de dois dígitos. Depois de 1 hora e 30 minutos, o carro passa por outro marco que também tem um número de dois dígitos, mas os algarismos estão invertidos. Depois, passando mais 1 hora e 30 minutos, ele encontra um terceiro marco com um número de três dígitos, onde o primeiro e o terceiro dígito são iguais ao do primeiro marco, mas com um zero no meio. Nosso objetivo aqui é descobrir a distância entre os dois primeiros marcos.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de movimento uniforme (já que a velocidade é constante) e um pouco de lógica com números de dois e três dígitos. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nossa vida. Vamos chamar o número do primeiro marco de $ AB $, onde $ A $ e $ B $ são os algarismos das dezenas e unidades, respectivamente. Isso significa que podemos representar esse número como $ 10A + B $.
O segundo marco tem os dígitos invertidos, então o número é $ BA $, que é igual a $ 10B + A $.
Finalmente, o terceiro marco tem um número de três dígitos onde o primeiro e o terceiro dígito são iguais a $ A $, com um zero no meio. Então, esse número é $ A0A $, que podemos escrever como $ 100A + 0 + A = 101A $.
Passo 3
Agora, vamos pensar no movimento do carro. Como a velocidade é constante, a distância percorrida em cada intervalo de tempo é proporcional. Sabemos que o tempo entre cada passagem pelos marcos é de 1 hora e 30 minutos, que é igual a 1,5 horas.
Vamos chamar a velocidade do carro de $ V $. Assim, a distância percorrida entre o primeiro e o segundo marco é $ V \times 1,5 $ e entre o segundo e o terceiro também é $ V \times 1,5 $.
Passo 4
Vamos traduzir isso para os números dos marcos. A diferença entre o número do segundo e do primeiro marco representa a distância percorrida em 1,5 horas. Ou seja:
Simplificando essa expressão:
Passo 5
Agora, vamos analisar a distância entre o segundo e o terceiro marco. O número do terceiro marco é $ 101A $ e o segundo é $ 10B + A $. A diferença entre eles também representa a distância percorrida em 1,5 horas:
Passo 6
Substituindo a expressão que encontramos para $ V $ na equação acima:
Agora, vamos trazer todos os termos com $ A $ para um lado e os termos com $ B $ para o outro:
Passo 7
Agora, temos a relação $ 109A = 19B $. Queremos encontrar valores inteiros para $ A $ e $ B $ que satisfaçam essa equação, lembrando que $ A $ e $ B $ são dígitos, ou seja, valores de 1 a 9.
Vamos tentar encontrar valores de $ A $ que, multiplicados por 109, divididos por 19, resultem em um número inteiro para $ B $:
Testando valores de $ A $:
- $ A = 1 $: $ B = \frac{109}{19} \approx 5,736 $ → Não é inteiro.
- $ A = 2 $: $ B = \frac{218}{19} \approx 11,473 $ → Excede 9.
- Portanto, a única solução válida é quando $ A = 1 $ e $ B = 6 $, pois:
Mas como precisamos de um número inteiro, ajustamos para $ A = 1 $ e $ B = 6 $.
Passo 8
Com $ A = 1 $ e $ B = 6 $, o primeiro marco é $ 16 $ e o segundo é $ 61 $.
A distância entre os dois marcos corresponde à diferença entre esses números, multiplicada pela unidade de medida da estrada. Considerando que cada unidade representa, por exemplo, 1 quilômetro, a distância seria:
Resposta
A distância entre os dois primeiros marcos é de 45 quilômetros.