Um corpo está no instante inicial, t=0,0 s, na posição r0=(3,0 m) i + (5,0 m) k e velocidade v0=7,0 j m / s. Sua aceleração evolui no tempo segundo a equação a(t)=-(10 m / s^2) j+(3,0 m / s^3) t k. Calcule (a) a velocidade do corpo e (b) a posição em t=3,0 s. © Faça gráficos das coordenadas x(t), y(t) e z(t) deste corpo. (Sugestão: analise o movimento em cada direção i, j e k independentemente do movimento nas outras duas direções.)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata do movimento de um corpo com aceleração dependente do tempo. A matéria envolvida aqui é a Cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar as causas que o produzem. Precisaremos usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração fornecida. Vamos analisar o movimento em cada direção ( i, j e k) separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é dada por:
a(t) = -10, j + 3,0, t, k
Vamos integrar cada componente da aceleração para encontrar a velocidade.

Passo 3

Integrando a componente j da aceleração:
aj(t) = -10, m/s^2
Integrando em relação ao tempo:
vj(t) = integral aj(t), dt = -10, t + Cj
Sabemos que a velocidade inicial na direção j é v0j = 7,0, m/s. Então, substituindo t=0:
7,0 = -10 times 0 + Cj Rightarrow Cj = 7,0, m/s
Portanto, a componente j da velocidade é:
vj(t) = -10, t + 7,0, m/s

Passo 4

Agora, integrando a componente k da aceleração:
ak(t) = 3,0, t, m/s^3
Integrando em relação ao tempo:
vk(t) = integral ak(t), dt = 3,02 t^2 + Ck
Como a velocidade inicial na direção k é v0k = 0, m/s (não há componente k na velocidade inicial),
0 = 3,02 times 0^2 + Ck Rightarrow Ck = 0
Portanto, a componente k da velocidade é:
vk(t) = 3,02 t^2, m/s

Passo 5

A direção i não possui aceleração nem velocidade inicial, então:
vi(t) = v0i = 0, m/s

Passo 6

Juntando todas as componentes, a velocidade total do corpo em função do tempo é:
v(t) = 0, i + (-10, t + 7,0), j + (3,02 t^2), k, m/s

Passo 7

Agora, vamos calcular a posição do corpo em t = 3,0, s. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
A posição inicial é:
r0 = 3,0, i + 5,0, k, m

Passo 8

Integrando a componente j da velocidade:
vj(t) = -10, t + 7,0, m/s
Integrando em relação ao tempo:
y(t) = integral vj(t), dt = -5, t^2 + 7,0, t + Cy
Como a posição inicial na direção j é 0, m,
0 = -5 times 0^2 + 7,0 times 0 + Cy Rightarrow Cy = 0
Portanto:
y(t) = -5, t^2 + 7,0, t, m

Passo 9

Integrando a componente k da velocidade:
vk(t) = 3,02 t^2, m/s
Integrando em relação ao tempo:
z(t) = integral vk(t), dt = 3,06 t^3 + Cz = 0,5, t^3 + Cz
Sabendo que a posição inicial em k é 5,0, m,
5,0 = 0,5 times 0^3 + Cz Rightarrow Cz = 5,0, m
Portanto:
z(t) = 0,5, t^3 + 5,0, m

Passo 10

A direção i não possui velocidade, então a posição nessa direção permanece constante:
x(t) = 3,0, m

Passo 11

Agora, calculamos a posição em t = 3,0, s:
x(3,0) = 3,0, m
y(3,0) = -5 times (3,0)^2 + 7,0 times 3,0 = -45 + 21 = -24, m
z(3,0) = 0,5 times (3,0)^3 + 5,0 = 0,5 times 27 + 5,0 = 13,5 + 5,0 = 18,5, m

Passo 12

Para os gráficos das coordenadas x(t), y(t) e z(t), podemos observar que:
  • x(t) é constante, então o gráfico será uma linha reta paralela ao tempo.
  • y(t) é uma função quadrática descendente.
  • z(t) é uma função cúbica crescente.
Você pode usar softwares como Excel, GeoGebra ou Python para plotar essas funções no intervalo de tempo desejado.

Resposta

(a) A velocidade do corpo em função do tempo é:
v(t) = 0, i + (-10, t + 7,0), j + (3,02 t^2), k, m/s
(b) A posição do corpo em t = 3,0, s é:
r(3,0) = 3,0, i - 24, j + 18,5, k, m
© Os gráficos das coordenadas são:
  • x(t): linha reta constante em 3,0, m.
  • y(t): parábola descendente.
  • z(t): curva cúbica ascendente.

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