Um corpo está no instante inicial,
, na posição
e velocidade
. Sua aceleração evolui no tempo segundo a equação
. Calcule (a) a velocidade do corpo e (b) a posição em
s. © Faça gráficos das coordenadas
e
deste corpo. (Sugestão: analise o movimento em cada direção
e
independentemente do movimento nas outras duas direções.)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata do movimento de um corpo com aceleração dependente do tempo. A matéria envolvida aqui é a Cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar as causas que o produzem. Precisaremos usar conceitos de integração para encontrar a velocidade e a posição a partir da aceleração fornecida. Vamos analisar o movimento em cada direção (
,
e
) separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do corpo em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo.
A aceleração é dada por:
Vamos integrar cada componente da aceleração para encontrar a velocidade.
Passo 3
Integrando a componente
da aceleração:
Integrando em relação ao tempo:
Sabemos que a velocidade inicial na direção
é
. Então, substituindo
:
Portanto, a componente
da velocidade é:
Passo 4
Agora, integrando a componente
da aceleração:
Integrando em relação ao tempo:
Como a velocidade inicial na direção
é
(não há componente
na velocidade inicial),
Portanto, a componente
da velocidade é:
Passo 5
A direção
não possui aceleração nem velocidade inicial, então:
Passo 6
Juntando todas as componentes, a velocidade total do corpo em função do tempo é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a posição do corpo em
. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
A posição inicial é:
Passo 8
Integrando a componente
da velocidade:
Integrando em relação ao tempo:
Como a posição inicial na direção
é
,
Portanto:
Passo 9
Integrando a componente
da velocidade:
Integrando em relação ao tempo:
Sabendo que a posição inicial em
é
,
Portanto:
Passo 10
A direção
não possui velocidade, então a posição nessa direção permanece constante:
Passo 11
Agora, calculamos a posição em
:
Passo 12
Para os gráficos das coordenadas
,
e
, podemos observar que:
-
é constante, então o gráfico será uma linha reta paralela ao tempo. -
é uma função quadrática descendente. -
é uma função cúbica crescente.
Você pode usar softwares como Excel, GeoGebra ou Python para plotar essas funções no intervalo de tempo desejado.
Resposta
(a) A velocidade do corpo em função do tempo é:
(b) A posição do corpo em
é:
© Os gráficos das coordenadas são:
-
: linha reta constante em . -
: parábola descendente. -
: curva cúbica ascendente.