carro A está se movimentando para o oeste a 90 km/h e o carro B está se movimentando para o norte 100 km/h. Ambos vão em direção à interseção de duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60 m e o carro B está a 80 m da interseção?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois carros, o carro A e o carro B, que estão se movendo em direções perpendiculares: o carro A para o oeste a uma velocidade de e o carro B para o norte a uma velocidade de . Ambos estão se aproximando de uma interseção de duas estradas. Queremos descobrir a que velocidade os carros estão se aproximando um do outro no exato momento em que o carro A está a da interseção e o carro B está a da mesma interseção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades dos carros de quilômetros por hora para metros por segundo, já que as distâncias estão em metros. Sabemos que:
Então, as velocidades são:

Passo 3

Agora, vamos modelar a distância de cada carro até a interseção em função do tempo. Suponha que seja o momento em que o carro A está a da interseção e o carro B está a da interseção.
A posição do carro A em relação ao tempo será:
E a posição do carro B será:

Passo 4

A distância entre os dois carros em qualquer instante t pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras, já que eles estão se movendo em direções perpendiculares:
Substituindo as posições:

Passo 5

Para encontrar a taxa na qual os carros estão se aproximando, precisamos encontrar a derivada da distância D(t) em relação ao tempo t, ou seja, . Vamos derivar a expressão de D(t):
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos saber a taxa de aproximação no momento em que . Substituindo na derivada:
Calculando o numerador:
Então:
Calculando o denominador:

Passo 7

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
O sinal negativo indica que a distância está diminuindo, ou seja, os carros estão se aproximando.

Resposta

Os carros estão se aproximando um do outro a uma taxa de aproximadamente no momento considerado.

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente a curva y = (2 + x) * e^(-x), no ponto 0,2.
Encontre d/y d/x.
Não se esqueça de colocar a caneta o resultado final.
Tenha muita atenção ao fazer os cálculos, e seja claro no desenvolvimento do raciocínio.
Boa prova.
c) y = (raiz(x + 1) * (2 - x)^5) / (x + 3)^7
_ Questão 5. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
f(t) = { t² + 7, se t < 5; -8t + 72, se t ≥ 5 }
Assim
(a) Construa um esboço do gráfico de f
_ Questão 6. Calcule os limites abaixo especificando todas as propriedades de limites usadas:
(a) lim x 1(4 x^2-7 x+5)