carro A está se movimentando para o oeste a e o carro B está se movimentando para o norte . Ambos vão em direção à interseção de duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a e o carro B está a da interseção?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois carros, o carro A e o carro B, que estão se movendo em direções perpendiculares: o carro A para o oeste a uma velocidade de e o carro B para o norte a uma velocidade de . Ambos estão se aproximando de uma interseção de duas estradas. Queremos descobrir a que velocidade os carros estão se aproximando um do outro no exato momento em que o carro A está a da interseção e o carro B está a da mesma interseção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades dos carros de quilômetros por hora para metros por segundo, já que as distâncias estão em metros. Sabemos que:
Então, as velocidades são:
Passo 3
Agora, vamos modelar a distância de cada carro até a interseção em função do tempo. Suponha que seja o momento em que o carro A está a da interseção e o carro B está a da interseção.
A posição do carro A em relação ao tempo será:
E a posição do carro B será:
Passo 4
A distância entre os dois carros em qualquer instante pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras, já que eles estão se movendo em direções perpendiculares:
Substituindo as posições:
Passo 5
Para encontrar a taxa na qual os carros estão se aproximando, precisamos encontrar a derivada da distância em relação ao tempo , ou seja, . Vamos derivar a expressão de :
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos saber a taxa de aproximação no momento em que . Substituindo na derivada:
Calculando o numerador:
Então:
Calculando o denominador:
Passo 7
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
O sinal negativo indica que a distância está diminuindo, ou seja, os carros estão se aproximando.
Resposta
Os carros estão se aproximando um do outro a uma taxa de aproximadamente no momento considerado.