_ Questão 5. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias
minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
Assim
(a) Construa um esboço do gráfico de
(a) Construa um esboço do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão juntos! O enunciado nos diz que a população de uma colônia de bactérias, medida em milhares, depende do tempo
em minutos após a introdução de uma toxina. Essa relação está descrita por uma função chamada
, que mudou a fórmula dependendo se
é menor que 5 ou maior ou igual a 5. Vamos usar conceitos de funções matemáticas, especialmente funções por partes, para desenhar o gráfico dessa população ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Aqui, temos duas expressões diferentes para
dependendo do valor de
. Isso é conhecido como uma função por partes.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte da função:
quando
.
- Tipo de função: É uma função quadrática, que geralmente forma uma parábola.
- Direção da parábola: O termo
tem coeficiente positivo, então a parábola se abre para cima. - Interseção com o eixo
: Quando , .
Isso nos dá um ponto inicial para desenhar essa parte da função.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
quando
.
- Tipo de função: É uma função linear, que forma uma reta.
- Inclinação da reta: O coeficiente de
é -8, indicando que a reta desce conforme aumenta. - Interseção com o eixo
: Para , .
Como essa parte da função só vale para
, vamos utilizar o ponto onde
para conectar as duas partes.
Passo 5
Vamos verificar a continuidade no ponto
:
- Para
: teria que ser . - Para
: .
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em
. Isso significa que não há “quebra” no gráfico nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico:
-
Para
: - Desenhe uma parábola que começa em
e passa por . - Como é para
, a parábola se estende até, mas não incluindo, .
- Desenhe uma parábola que começa em
-
Para
: - Desenhe uma reta que começa em
e desce com inclinação -8. - A reta continua para valores maiores de
.
- Desenhe uma reta que começa em
Passo 7
Finalmente, junte as duas partes no gráfico:
- As duas partes se encontram no ponto
, criando um gráfico contínuo. - A primeira parte é a parábola subindo até
. - A segunda parte é a reta descendo a partir de
.
Resposta
O gráfico de
é uma combinação de uma parábola que cresce até o ponto
e, a partir desse ponto, uma reta que desce linearmente. A função é contínua em
, sem quebras, refletindo a transição suave entre as duas partes da função.
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carro A está se movimentando para o oeste a
e o carro B está se movimentando para o norte
. Ambos vão em direção à interseção de duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a
e o carro B está a
da interseção?
Encontre a equação da reta tangente a curva
, no ponto
.
_ Questão 6. Calcule os limites abaixo especificando todas as propriedades de limites usadas:
(a)
(a)
_ Questão 6. Calcule os limites abaixo especificando todas as propriedades de limites usadas:
(f)
(f)