_ Questão 5. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função
f(t) = { t² + 7, se t < 5; -8t + 72, se t ≥ 5 }
Assim
(a) Construa um esboço do gráfico de f

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão juntos! O enunciado nos diz que a população de uma colônia de bactérias, medida em milhares, depende do tempo em minutos após a introdução de uma toxina. Essa relação está descrita por uma função chamada , que mudou a fórmula dependendo se é menor que 5 ou maior ou igual a 5. Vamos usar conceitos de funções matemáticas, especialmente funções por partes, para desenhar o gráfico dessa população ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Aqui, temos duas expressões diferentes para dependendo do valor de . Isso é conhecido como uma função por partes.

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte da função: quando .
  • Tipo de função: É uma função quadrática, que geralmente forma uma parábola.
  • Direção da parábola: O termo tem coeficiente positivo, então a parábola se abre para cima.
  • Interseção com o eixo : Quando , .
Isso nos dá um ponto inicial para desenhar essa parte da função.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: quando .
  • Tipo de função: É uma função linear, que forma uma reta.
  • Inclinação da reta: O coeficiente de é -8, indicando que a reta desce conforme aumenta.
  • Interseção com o eixo : Para , .
Como essa parte da função só vale para , vamos utilizar o ponto onde para conectar as duas partes.

Passo 5

Vamos verificar a continuidade no ponto :
  • Para : teria que ser .
  • Para : .
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em . Isso significa que não há “quebra” no gráfico nesse ponto.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  1. Para :
    • Desenhe uma parábola que começa em e passa por .
    • Como é para , a parábola se estende até, mas não incluindo, .
  2. Para :
    • Desenhe uma reta que começa em e desce com inclinação -8.
    • A reta continua para valores maiores de .

Passo 7

Finalmente, junte as duas partes no gráfico:
  • As duas partes se encontram no ponto , criando um gráfico contínuo.
  • A primeira parte é a parábola subindo até .
  • A segunda parte é a reta descendo a partir de .

Resposta

O gráfico de é uma combinação de uma parábola que cresce até o ponto e, a partir desse ponto, uma reta que desce linearmente. A função é contínua em , sem quebras, refletindo a transição suave entre as duas partes da função.

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