Encontre a equação da reta tangente a curva
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma reta tangente a uma curva no ponto
tem a forma:
onde
é a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 3
Para encontrar a inclinação
, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
, ou seja,
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, que, no ponto específico, será a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Vamos calcular
para
. Para isso, usamos a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas:
onde
e
.
A derivada pela regra do produto é:
Passo 5
Calculando as derivadas individuais:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar a inclinação
no ponto
. Substituindo
na derivada:
Passo 8
Sabendo que
e o ponto de tangência é
, substituímos na equação da reta tangente:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: