Encontre a equação da reta tangente a curva y = (2 + x) * e^(-x), no ponto 0,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma reta tangente a uma curva no ponto tem a forma:
onde é a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 3

Para encontrar a inclinação , precisamos calcular a derivada da função em relação a , ou seja, . A derivada nos dá a taxa de variação da função, que, no ponto específico, será a inclinação da reta tangente.

Passo 4

Vamos calcular para . Para isso, usamos a regra do produto, já que temos duas funções multiplicadas:
onde e .
A derivada pela regra do produto é:

Passo 5

Calculando as derivadas individuais:

Passo 6

Substituindo e na expressão de :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a inclinação no ponto . Substituindo na derivada:

Passo 8

Sabendo que e o ponto de tangência é , substituímos na equação da reta tangente:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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