Um carro em um parque de diversões se desloca sem atrito ao longo do trilho indicado na figura abaixo. Ele parte do repouso no ponto A, situado a uma altura h acima da base do círculo. Ele parte do repouso no ponto A, situado a uma altura acima da base do círculo. Considere o carro como uma partícula. Se e , calcule a velocidade, o componente radial da aceleração e o componente tangencial da aceleração dos passageiros quando o carro está no ponto , que está na extremidade de um diâmetro horizontal. Us um diagrama aproximadamente em escala para mostrar esses componentes da aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um carro num parque de diversões que se move sem atrito por um trilho. A gente precisa calcular três coisas quando o carro está no ponto , que está na extremidade de um diâmetro horizontal:
  1. Velocidade do carro.
  2. Componente radial da aceleração.
  3. Componente tangencial da aceleração.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e movimento circular. Vamos precisar saber sobre energia potencial e cinética, além das fórmulas de aceleração centrípeta (radial) e tangencial em movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do carro no ponto . Como não tem atrito, a energia total se conserva. No ponto de partida , toda a energia é potencial gravitacional, já que o carro parte do repouso. No ponto , parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia potencial no ponto é:
Onde:
  • é a massa do carro,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura inicial.
No ponto , a energia cinética é:
Pelo princípio da conservação de energia:
Substituindo:
Podemos simplificar dos dois lados:
Resolvendo para :
Dado que e , primeiro calculamos :
Agora, substituímos na fórmula da velocidade:

Passo 3

Agora que temos a velocidade no ponto , vamos calcular a componente radial da aceleração, que na verdade é a aceleração centrípeta . A aceleração centrípeta é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Por último, vamos determinar a componente tangencial da aceleração . A aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade ao longo do tempo. Nesse caso, como o carro está se movendo sem atrito e a única força atuando além da gravidade é a força normal do trilho, a velocidade no ponto é constante se considerarmos que a aceleração centrípeta está mudando a direção da velocidade, mas não sua magnitude.
Portanto:

Resposta

Quando o carro está no ponto :
  • Velocidade:
  • Componente radial da aceleração:
  • Componente tangencial da aceleração:
Abaixo, um diagrama simplificado mostrando as componentes da aceleração no ponto :
       |
       |  a_t = 0
       v
     ----->
       ^
       |
    a_r = 68,6 m/s²
Nesse diagrama, a seta horizontal representa a velocidade e a aceleração radial apontando para o centro do círculo. A aceleração tangencial é nula, indicando que não há mudança na velocidade do carro naquele instante.

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