Um carro em um parque de diversões se desloca sem atrito ao longo do trilho indicado na figura abaixo. Ele parte do repouso no ponto A, situado a uma altura h acima da base do círculo. Ele parte do repouso no ponto A, situado a uma altura
acima da base do círculo. Considere o carro como uma partícula. Se
e
, calcule a velocidade, o componente radial da aceleração e o componente tangencial da aceleração dos passageiros quando o carro está no ponto
, que está na extremidade de um diâmetro horizontal. Us um diagrama aproximadamente em escala para mostrar esses componentes da aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um carro num parque de diversões que se move sem atrito por um trilho. A gente precisa calcular três coisas quando o carro está no ponto
, que está na extremidade de um diâmetro horizontal:
- Velocidade do carro.
- Componente radial da aceleração.
- Componente tangencial da aceleração.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e movimento circular. Vamos precisar saber sobre energia potencial e cinética, além das fórmulas de aceleração centrípeta (radial) e tangencial em movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do carro no ponto
. Como não tem atrito, a energia total se conserva. No ponto de partida
, toda a energia é potencial gravitacional, já que o carro parte do repouso. No ponto
, parte dessa energia se transforma em energia cinética.
A energia potencial no ponto
é:
Onde:
-
é a massa do carro, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura inicial.
No ponto
, a energia cinética é:
Pelo princípio da conservação de energia:
Substituindo:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Dado que
e
, primeiro calculamos
:
Agora, substituímos na fórmula da velocidade:
Passo 3
Agora que temos a velocidade
no ponto
, vamos calcular a componente radial da aceleração, que na verdade é a aceleração centrípeta
. A aceleração centrípeta é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Por último, vamos determinar a componente tangencial da aceleração
. A aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade ao longo do tempo. Nesse caso, como o carro está se movendo sem atrito e a única força atuando além da gravidade é a força normal do trilho, a velocidade no ponto
é constante se considerarmos que a aceleração centrípeta está mudando a direção da velocidade, mas não sua magnitude.
Portanto:
Resposta
Quando o carro está no ponto
:
- Velocidade:
- Componente radial da aceleração:
- Componente tangencial da aceleração:
Abaixo, um diagrama simplificado mostrando as componentes da aceleração no ponto
:
|
| a_t = 0
v
----->
^
|
a_r = 68,6 m/s²
Nesse diagrama, a seta horizontal representa a velocidade e a aceleração radial apontando para o centro do círculo. A aceleração tangencial é nula, indicando que não há mudança na velocidade do carro naquele instante.