Um carro parte da cidade A tendo como destino a cidade C. Ele segue primeiro para a cidade B, que dista 60 km de A , na direção Nordeste-Sudoeste (essa direção forma 45^circ com a direção Leste-Oeste), dirigindo-se para o Sudoeste (SO). Depois ele segue para a cidade C que dista 40 km de B, na direção Leste-Oeste, dirigindo-se para o Leste ( L ). (No seu gráfico 1,0 cm deve corresponder a 10 km)
Sabendo que o carro levou 45 min para se deslocar de A até B e meia hora para ir de B até C calcule a o vetor velocidade média associada ao percurso total do carro. Escreva esse vetor em termos dos unitários i e j. Determine o seu módulo.

Passo 1

Vamos lá! Temos um carro que parte da cidade A para a cidade B e depois para a cidade C. A distância de A para B é de 60 km na direção Sudoeste (com um ângulo de em relação a Leste-Oeste) e de B para C é de 40 km para o Leste. O carro levou 45 minutos para ir de A até B e mais 30 minutos para ir de B até C. Nosso objetivo é calcular o vetor velocidade média do percurso total do carro, expressando-o com os unitários e , e também determinar o seu módulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a velocidade média é dada pela fórmula:
vmédia = Deé
onde é o deslocamento total e é o tempo total.

Passo 3

Vamos calcular o deslocamento em cada etapa. Para a primeira parte, de A para B, a direção Sudoeste significa que o carro está indo igualmente para o Sul e para o Oeste, formando um ângulo de De. Usando trigonometria, podemos decompor esse deslocamento nas direções Leste ( De) e Norte ( De).

Passo 4

Agora, para a segunda parte, de B para C, o carro vai diretamente para o Leste. Então, o deslocamento é apenas na direção De:

Passo 5

Vamos somar os deslocamentos para encontrar o deslocamento total:
De
De
De

Passo 6

O tempo total de viagem é a soma dos tempos das duas etapas. Convertendo minutos para horas para facilitar os cálculos de velocidade (já que a distância está em km):
De

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da velocidade média:
vmédia = Deé
vmédia = (30raiz2 + 40) i - 30raiz2 j1,25 é
vmédia = (30raiz2 + 401,25) i - (30raiz21,25) j é
vmédia = (24raiz2 + 32) i - 24raiz2 j é

Passo 8

Para encontrar o módulo da velocidade média, usamos a fórmula:
|vmédia| = raiz(24raiz2 + 32)^2 + (-24raiz2)^2 é
Vamos calcular cada parte:
(24raiz2 + 32)^2 = (24raiz2)^2 + 2 times 24raiz2 times 32 + 32^2 = 1152 + 1536raiz2 + 1024
= 2176 + 1536raiz2
(-24raiz2)^2 = (24raiz2)^2 = 1152
Somando:
|vmédia| = raiz2176 + 1536raiz2 + 1152 = raiz3328 + 1536raiz2 é
Aproximando:
|vmédia| approx raiz3328 + 2169 = raiz5497 approx 74,15 km/h é

Resposta

A velocidade média do percurso total do carro é:
vmédia = (24raiz2 + 32) i - 24raiz2 j km/h é
E o módulo dessa velocidade é aproximadamente km/h.

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