Um pequeno pacote é lançado de uma altura do solo com vetor velocidade inicial de módulo e que faz um ângulo de com a horizontal por sobre um muro afastado de uma distância do ponto de lançamento e de altura . Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade . Trate o pacote como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura.
Escreva o vetor posição e o vetor velocidade do pacote.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um pacote que é lançado de uma altura de metros acima do solo. A velocidade inicial desse pacote é de e faz um ângulo de com a horizontal. Queremos encontrar as expressões para o vetor posição e o vetor velocidade do pacote ao longo do tempo.
Matéria envolvida: Cinemática de movimentos uniformemente variáveis no plano, especificamente movimento de projéteis.
O que precisamos: Dividir a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e usar as equações do movimento para determinar a posição e a velocidade em qualquer instante .
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a velocidade inicial nas suas componentes horizontal () e vertical ().
Usamos as seguintes fórmulas trigonométricas:
onde e .
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos determinar as equações para as coordenadas e do pacote.
Movimento horizontal ():
No movimento horizontal, não há aceleração (desprezamos a resistência do ar). Então, a posição horizontal é dada por:
Substituindo :
Movimento vertical ():
No movimento vertical, a única força é a gravidade, que proporciona uma aceleração de para baixo. A posição vertical é dada por:
Substituindo , e :
Passo 4
Com as expressões para e definidas, podemos agora escrever o vetor posição .
Substituindo as funções encontradas:
Passo 5
Para encontrar o vetor velocidade , precisamos derivar em relação ao tempo .
Derivando :
Como não há aceleração na horizontal, é constante.
Derivando :
Aqui, a velocidade vertical varia com o tempo devido à aceleração da gravidade.
Então, o vetor velocidade é:
Resposta
As expressões para o vetor posição e o vetor velocidade do pacote são: