Um pequeno pacote é lançado de uma altura do solo com vetor velocidade inicial de módulo 5 m / s e que faz um ângulo de 60^circ com a horizontal por sobre um muro afastado de uma distância d=1,00 m do ponto de lançamento e de altura H=2,00 m. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10 m / s^2. Trate o pacote como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura.
Escreva o vetor posição r(t) e o vetor velocidade v(t) do pacote.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um pacote que é lançado de uma altura de metros acima do solo. A velocidade inicial desse pacote é de e faz um ângulo de com a horizontal. Queremos encontrar as expressões para o vetor posição e o vetor velocidade do pacote ao longo do tempo.
Matéria envolvida: Cinemática de movimentos uniformemente variáveis no plano, especificamente movimento de projéteis.
O que precisamos: Dividir a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e usar as equações do movimento para determinar a posição e a velocidade em qualquer instante .
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a velocidade inicial v0x = v0 cos(theta) nas suas componentes horizontal ( v0y = v0 sin(theta) ) e vertical ( v0x = 5 cos(60^circ) = 5 times 0,5 = 2,5 , m/s ).
Usamos as seguintes fórmulas trigonométricas:
v0y = 5 sin(60^circ) = 5 times raiz32 approx 4,33 , m/s
onde e .
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos determinar as equações para as coordenadas x(t) = v0x cdot t e x(t) = 2,5 , t do pacote.
Movimento horizontal ( y(t) = h + v0y cdot t - 12 g t^2 ):
No movimento horizontal, não há aceleração (desprezamos a resistência do ar). Então, a posição horizontal é dada por:
y(t) = 1,80 + 4,33 , t - 5 , t^2
Substituindo :
Movimento vertical ():
No movimento vertical, a única força é a gravidade, que proporciona uma aceleração de para baixo. A posição vertical é dada por:
Substituindo , e :
Passo 4
Com as expressões para r(t) = x(t) , i + y(t) , j e r(t) = (2,5 , t) , i + (1,80 + 4,33 , t - 5 , t^2) , j definidas, podemos agora escrever o vetor posição .
Substituindo as funções encontradas:
Passo 5
Para encontrar o vetor velocidade vx(t) = dxdt = 2,5 , m/s , precisamos derivar vy(t) = dydt = 4,33 - 10 , t , m/s em relação ao tempo v(t) = vx(t) , i + vy(t) , j = 2,5 , i + (4,33 - 10 , t) , j .
Derivando :
Como não há aceleração na horizontal, é constante.
Derivando :
Aqui, a velocidade vertical varia com o tempo devido à aceleração da gravidade.
Então, o vetor velocidade é:
Resposta
As expressões para o vetor posição e o vetor velocidade do pacote são:
r(t) = (2,5 , t) , i + (1,80 + 4,33 , t - 5 , t^2) , j