Um carro parte da cidade A tendo como destino a cidade C. Ele segue primeiro para a cidade B, que dista 80 km de A, na direção Norte-Sul, no sentido de Norte para Sul. Depois ele segue para a cidade C que dista 160 km de B, na direção Noroeste-Sudeste (essa direção forma 45^circ com a direção Leste-Oeste), dirigindo-se para o Noroeste (NO). (No seu gráfico 1,0 cm deve corresponder a 20 km)
Calcule as componentes dos vetores d1, d2 e d3, o módulo de d3 e ângulo que ele faz com o eixo OX.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um carro que sai da cidade A em direção à cidade C, passando primeiro por B. Precisamos calcular as componentes dos vetores , e , além do módulo de e o ângulo que ele forma com o eixo OX.
Conteúdo da matéria:
  • Vetores e suas componentes
  • Cálculo de magnitude de vetores
  • Cálculo de ângulos utilizando trigonometria
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos básicos de vetores
  • Fórmulas de decomposição de vetores em componentes
  • Teorema de Pitágoras para magnitude
  • Função tangente para calcular o ângulo

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos no problema:
  1. : Deslocamento de A para B.
  2. : Deslocamento de B para C.
  3. : Deslocamento total de A para C.

Passo 3

Vamos determinar as componentes de cada vetor. Para isso, precisamos decidir qual eixo representa cada direção. Vamos considerar:
  • Eixo OX: Direção Leste-Oeste.
  • Eixo OY: Direção Norte-Sul.

Passo 4

Calculando d1 = lang<= 0, -80 rang<= km :
O carro vai de A para B, 80 km na direção Norte-Sul, de Norte para Sul. Como está indo para o Sul, a componente Y será negativa.

Passo 5

Calculando d2x = 160 cos(135^circ) = 160 times (-raiz22) = -80raiz2 km :
O carro vai de B para C, 160 km na direção Noroeste (NW). Noroeste significa que o vetor faz um ângulo de d2y = 160 sin(135^circ) = 160 times (raiz22) = 80raiz2 km com o eixo OX (Leste-Oeste).
Para decompor d2 = lang<= -80raiz2, 80raiz2 rang<= km em componentes X e Y:
Então,

Passo 6

Calculando d3 = d1 + d2 = lang<= 0 + (-80raiz2), -80 + 80raiz2 rang<= :
d3 = lang<= -80raiz2, 80raiz2 - 80 rang<= km é a soma dos vetores e :

Passo 7

Calculando o módulo de |d3| = raiz(-80raiz2)^2 + (80raiz2 - 80)^2 :
Usamos o teorema de Pitágoras:
(-80raiz2)^2 = 6400 times 2 = 12800
Vamos calcular passo a passo:
(80raiz2 - 80)^2 = (80(raiz2 - 1))^2 = 6400 (raiz2 - 1)^2 = 6400 (2 - 2raiz2 + 1) = 6400 (3 - 2raiz2) = 19200 - 12800raiz2
|d3| = raiz12800 + 19200 - 12800raiz2 = raiz32000 - 12800raiz2
raiz2 approx 1,4142
Para simplificar, vamos calcular numericamente:
32000 - 12800 times 1,4142 approx 32000 - 18101.76 = 13898.24
|d3| approx raiz13898.24 approx 118 km

Passo 8

Calculando o ângulo que tan(theta) = d3yd3x = 80raiz2 - 80-80raiz2 faz com o eixo OX:
Usamos a função tangente:
tan(theta) = 80(raiz2 - 1)-80raiz2 = raiz2 - 1-raiz2 = -raiz2 - 1raiz2 = 1 - raiz2raiz2
1 - 1,41421,4142 = -0,41421,4142 approx -0,2929
Calculando numericamente:
theta = arctan(-0,2929) approx -16,2^circ
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo OX, o ângulo positivo correspondente é .
Outra forma de interpretar é que o vetor está no quarto quadrante, então o ângulo é abaixo do eixo positivo X.

Resposta

d1 &= lang<= 0, -80 rang<= km d2 &= lang<= -80raiz2, 80raiz2 rang<= km d3 &= lang<= -80raiz2, 80raiz2 - 80 rang<= km |d3| &approx 118 km theta &approx 343,8^circ com o eixo OX

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