Um carro parte da cidade A tendo como destino a cidade C. Ele segue primeiro para a cidade B, que dista 80 km de A, na direção Norte-Sul, no sentido de Norte para Sul. Depois ele segue para a cidade C que dista 160 km de B, na direção Noroeste-Sudeste (essa direção forma com a direção Leste-Oeste), dirigindo-se para o Noroeste (NO). (No seu gráfico 1,0 cm deve corresponder a 20 km)
Calcule as componentes dos vetores e , o módulo de e ângulo que ele faz com o eixo OX.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um carro que sai da cidade A em direção à cidade C, passando primeiro por B. Precisamos calcular as componentes dos vetores , e , além do módulo de e o ângulo que ele forma com o eixo OX.
Conteúdo da matéria:
  • Vetores e suas componentes
  • Cálculo de magnitude de vetores
  • Cálculo de ângulos utilizando trigonometria
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos básicos de vetores
  • Fórmulas de decomposição de vetores em componentes
  • Teorema de Pitágoras para magnitude
  • Função tangente para calcular o ângulo

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos no problema:
  1. : Deslocamento de A para B.
  2. : Deslocamento de B para C.
  3. : Deslocamento total de A para C.

Passo 3

Vamos determinar as componentes de cada vetor. Para isso, precisamos decidir qual eixo representa cada direção. Vamos considerar:
  • Eixo OX: Direção Leste-Oeste.
  • Eixo OY: Direção Norte-Sul.

Passo 4

Calculando :
O carro vai de A para B, 80 km na direção Norte-Sul, de Norte para Sul. Como está indo para o Sul, a componente Y será negativa.

Passo 5

Calculando :
O carro vai de B para C, 160 km na direção Noroeste (NW). Noroeste significa que o vetor faz um ângulo de com o eixo OX (Leste-Oeste).
Para decompor em componentes X e Y:
Então,

Passo 6

Calculando :
é a soma dos vetores e :

Passo 7

Calculando o módulo de :
Usamos o teorema de Pitágoras:
Vamos calcular passo a passo:
Para simplificar, vamos calcular numericamente:

Passo 8

Calculando o ângulo que faz com o eixo OX:
Usamos a função tangente:
Calculando numericamente:
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo OX, o ângulo positivo correspondente é .
Outra forma de interpretar é que o vetor está no quarto quadrante, então o ângulo é abaixo do eixo positivo X.

Resposta

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