A função-aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo é dada por , onde e são constantes positivas. No instante inicial, , a partícula está na origem e com velocidade nula.
Qual a aceleração média da partícula entre os instantes e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com uma função de aceleração dada por , onde e são constantes positivas. No início, quando , a partícula está na origem () e com velocidade zero (). Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração média da partícula entre os instantes segundo e segundos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é aceleração média. A aceleração média () em um intervalo de tempo é basicamente a mudança na velocidade dividida pelo tempo que levou para essa mudança ocorrer. A fórmula é:
Onde:
é a variação da velocidade.
é o intervalo de tempo considerado.
é a velocidade no instante final.
é a velocidade no instante inicial.
Passo 3
Para encontrar , precisamos saber as velocidades da partícula nos instantes s e s. Mas, para isso, primeiro vamos encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, para encontrar , vamos integrar a função de aceleração em relação ao tempo.
Passo 4
Integrando para encontrar :
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar o valor de . Sabemos que, no instante inicial :
Substituindo na equação de :
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 6
Agora que temos , vamos calcular as velocidades nos instantes s e s:
Para s:
Para s:
Passo 7
Agora, calculamos a variação da velocidade :
Passo 8
Por fim, aplicamos a fórmula da aceleração média:
Simplificando:
Resposta
A aceleração média da partícula entre os instantes s e s é: