A função-aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo
é dada por
, onde
e
são constantes positivas. No instante inicial,
, a partícula está na origem e com velocidade nula.
Qual a aceleração média da partícula entre os instantes
e
?
Qual a aceleração média da partícula entre os instantes
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo
com uma função de aceleração dada por
, onde
e
são constantes positivas. No início, quando
, a partícula está na origem (
) e com velocidade zero (
). Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração média da partícula entre os instantes
segundo e
segundos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é aceleração média. A aceleração média (
) em um intervalo de tempo é basicamente a mudança na velocidade dividida pelo tempo que levou para essa mudança ocorrer. A fórmula é:
Onde:
-
é a variação da velocidade. -
é o intervalo de tempo considerado. -
é a velocidade no instante final. -
é a velocidade no instante inicial.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos saber as velocidades da partícula nos instantes
s e
s. Mas, para isso, primeiro vamos encontrar a expressão da velocidade
em função do tempo.
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, para encontrar
, vamos integrar a função de aceleração em relação ao tempo.
Passo 4
Integrando
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar o valor de
. Sabemos que, no instante inicial
:
Substituindo na equação de
:
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular as velocidades nos instantes
s e
s:
Para
s:
Para
s:
Passo 7
Agora, calculamos a variação da velocidade
:
Passo 8
Por fim, aplicamos a fórmula da aceleração média:
Simplificando:
Resposta
A aceleração média da partícula entre os instantes
s e
s é: