A função-aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo O X é dada por ax=-b t^2+c, onde b e c são constantes positivas. No instante inicial, t=0, a partícula está na origem e com velocidade nula.
Qual a aceleração média da partícula entre os instantes t=1 s e t=3 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com uma função de aceleração dada por , onde e são constantes positivas. No início, quando , a partícula está na origem ( ) e com velocidade zero ( ). Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração média da partícula entre os instantes segundo e segundos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é aceleração média. A aceleração média ( amédia = Deé) em um intervalo de tempo é basicamente a mudança na velocidade dividida pelo tempo que levou para essa mudança ocorrer. A fórmula é:
é
Onde:
  • é a variação da velocidade.
  • é o intervalo de tempo considerado.
  • é a velocidade no instante final.
  • é a velocidade no instante inicial.

Passo 3

Para encontrar a(t) = dvdt , precisamos saber as velocidades da partícula nos instantes s e s. Mas, para isso, primeiro vamos encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, para encontrar , vamos integrar a função de aceleração em relação ao tempo.

Passo 4

Integrando v(t) = integral a(t) , dt = integral (-b t^2 + c) , dt para encontrar v(t) = -b3 t^3 + c t + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar o valor de v(0) = 0 . Sabemos que, no instante inicial 0 = -b3 (0)^3 + c cdot 0 + C Rightarrow C = 0 :
v(t) = -b3 t^3 + c t
Substituindo na equação de :
Então, a equação da velocidade fica:

Passo 6

Agora que temos v(1) = -b3 (1)^3 + c cdot 1 = -b3 + c , vamos calcular as velocidades nos instantes v(3) = -b3 (3)^3 + c cdot 3 = -b3 cdot 27 + 3c = -9b + 3c s e s:
Para s:
Para s:

Passo 7

Agora, calculamos a variação da velocidade De:
De

Passo 8

Por fim, aplicamos a fórmula da aceleração média:
amédia = Deé
Simplificando:
amédia = -13b3 + c é

Resposta

A aceleração média da partícula entre os instantes amédia = c - 13b3 s e s é:
é

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