A função-aceleração de uma partícula que se movimenta ao longo do eixo é dada por , onde e são constantes positivas. No instante inicial, , a partícula está na origem e com velocidade nula.
Qual a aceleração média da partícula entre os instantes e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que se move ao longo do eixo com uma função de aceleração dada por , onde e são constantes positivas. No início, quando , a partícula está na origem ( ) e com velocidade zero ( ). Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração média da partícula entre os instantes segundo e segundos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é aceleração média. A aceleração média ( é) em um intervalo de tempo é basicamente a mudança na velocidade dividida pelo tempo que levou para essa mudança ocorrer. A fórmula é:
é
Onde:
  • é a variação da velocidade.
  • é o intervalo de tempo considerado.
  • é a velocidade no instante final.
  • é a velocidade no instante inicial.

Passo 3

Para encontrar , precisamos saber as velocidades da partícula nos instantes s e s. Mas, para isso, primeiro vamos encontrar a expressão da velocidade em função do tempo.
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, para encontrar , vamos integrar a função de aceleração em relação ao tempo.

Passo 4

Integrando para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar o valor de . Sabemos que, no instante inicial :
Substituindo na equação de :
Então, a equação da velocidade fica:

Passo 6

Agora que temos , vamos calcular as velocidades nos instantes s e s:
Para s:
Para s:

Passo 7

Agora, calculamos a variação da velocidade :

Passo 8

Por fim, aplicamos a fórmula da aceleração média:
é
Simplificando:
é

Resposta

A aceleração média da partícula entre os instantes s e s é:
é

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