Um carro parte da cidade A tendo como destino a cidade C. Ele segue primeiro para a cidade B, que dista 80 km de A, na direção Norte-Sul, no sentido de Norte para Sul. Depois ele segue para a cidade C que dista 160 km de B, na direção Noroeste-Sudeste (essa direção forma com a direção Leste-Oeste), dirigindo-se para o Noroeste (NO). (No seu gráfico 1,0 cm deve corresponder a 20 km)
Sabendo que o carro levou meia hora para se deslocar de A até B e uma hora para ir de B até C calcule a o vetor velocidade média associada ao percurso total do carro. Escreva esse vetor em termos dos unitários e . Determine o seu módulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre o deslocamento de um carro que vai da cidade A para a cidade C, passando pela cidade B. Queremos calcular a velocidade média desse percurso. Para isso, vamos precisar entender um pouco de vetores e cinemática. Vamos precisar usar as direções dadas e os tempos de cada trecho para encontrar a velocidade média em termos dos vetores unitários e , além de calcular o módulo dessa velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os trechos do percurso:
A para B: 80 km na direção Norte-Sul, de Norte para Sul.
B para C: 160 km na direção Noroeste-Sudeste, formando um ângulo de com a direção Leste-Oeste, indo para o Noroeste (NO).
Também sabemos os tempos:
De A para B: 0,5 horas (meia hora).
De B para C: 1 hora.
Passo 3
Vamos representar os deslocamentos como vetores. Para isso, precisamos definir os vetores unitários:
: aponta para o Leste.
: aponta para o Norte.
Agora, vamos decompor cada trecho em e .
Passo 4
Trecho A para B:
O carro vai de Norte para Sul, o que significa que está se movendo na direção negativa de .
Passo 5
Trecho B para C:
A direção Noroeste (NO) forma um ângulo de com a direção Leste-Oeste. Isso significa que o movimento tem uma componente igual para Oeste e para Norte.
Como o carro está indo para o Noroeste, a componente Oeste é negativa em e a componente Norte é positiva em .
As componentes são:
Como :
Passo 6
Agora, vamos somar os vetores e para encontrar o vetor deslocamento total :
Passo 7
Agora, vamos calcular o tempo total do percurso:
Passo 8
A velocidade média () é dada pela divisão do deslocamento total pelo tempo total:
Simplificando:
Passo 9
Para encontrar o módulo da velocidade média, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
é
Isso pode ser simplificado numericamente:
é
Resposta
A velocidade média associada ao percurso total do carro é:
é
E o módulo dessa velocidade média é aproximadamente 78,55 km/h.