Um carro parte da cidade A tendo como destino a cidade C. Ele segue primeiro para a cidade B, que dista 80 km de A, na direção Norte-Sul, no sentido de Norte para Sul. Depois ele segue para a cidade C que dista 160 km de B, na direção Noroeste-Sudeste (essa direção forma 45^circ com a direção Leste-Oeste), dirigindo-se para o Noroeste (NO). (No seu gráfico 1,0 cm deve corresponder a 20 km)
Sabendo que o carro levou meia hora para se deslocar de A até B e uma hora para ir de B até C calcule a o vetor velocidade média associada ao percurso total do carro. Escreva esse vetor em termos dos unitários i e j. Determine o seu módulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre o deslocamento de um carro que vai da cidade A para a cidade C, passando pela cidade B. Queremos calcular a velocidade média desse percurso. Para isso, vamos precisar entender um pouco de vetores e cinemática. Vamos precisar usar as direções dadas e os tempos de cada trecho para encontrar a velocidade média em termos dos vetores unitários e , além de calcular o módulo dessa velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os trechos do percurso:
  1. A para B: 80 km na direção Norte-Sul, de Norte para Sul.
  2. B para C: 160 km na direção Noroeste-Sudeste, formando um ângulo de com a direção Leste-Oeste, indo para o Noroeste (NO).
Também sabemos os tempos:
  • De A para B: 0,5 horas (meia hora).
  • De B para C: 1 hora.

Passo 3

Vamos representar os deslocamentos como vetores. Para isso, precisamos definir os vetores unitários:
  • : aponta para o Leste.
  • : aponta para o Norte.
Agora, vamos decompor cada trecho em e .

Passo 4

Trecho A para B:
O carro vai de Norte para Sul, o que significa que está se movendo na direção negativa de AB = 0,i - 80,j km .

Passo 5

Trecho B para C:
A direção Noroeste (NO) forma um ângulo de BC = -160 cos(45^circ),i + 160 sin(45^circ),j com a direção Leste-Oeste. Isso significa que o movimento tem uma componente igual para Oeste e para Norte.
Como o carro está indo para o Noroeste, a componente Oeste é negativa em BC = -160 times raiz22,i + 160 times raiz22,j = -80raiz2,i + 80raiz2,j e a componente Norte é positiva em .
As componentes são:
Como :

Passo 6

Agora, vamos somar os vetores AC = AB + BC = (0,i - 80,j) + (-80raiz2,i + 80raiz2,j) e AC = -80raiz2,i + ( -80 + 80raiz2),j para encontrar o vetor deslocamento total :

Passo 7

Agora, vamos calcular o tempo total do percurso:
ttotal = 0,5 horas + 1 hora = 1,5 horas

Passo 8

A velocidade média ( vmédia = ACttotal = -80raiz2,i + ( -80 + 80raiz2),j1,5 é) é dada pela divisão do deslocamento total pelo tempo total:
vmédia = (-80raiz21,5),i + (-80 + 80raiz21,5),j é
Simplificando:
vmédia = -160raiz23,i + -160 + 160raiz23,j km/h é
é

Passo 9

Para encontrar o módulo da velocidade média, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|vmédia| = raiz(-160raiz23)^2 + (-160 + 160raiz23)^2 é
Calculando cada parte:
(-160raiz23)^2 = (160)^2 times 29 = 512009
(-160 + 160raiz23)^2 = ( -160 + 160raiz2 )^29 = (160)^2 (1 - raiz2)^29 = 160^2 (1 - 2raiz2 + 2)9 = 160^2 (3 - 2raiz2)9 = 76800 - 51200raiz29
Somando as duas partes:
|vmédia| = raiz 512009 + 76800 - 51200raiz29 = raiz 128000 - 51200raiz29 = raiz128000 - 51200raiz23 é
Isso pode ser simplificado numericamente:
128000 - 51200raiz2 approx 128000 - 51200 times 1,4142 approx 128000 - 72416 approx 55584
|vmédia| approx raiz555843 approx 235,643 approx 78,55 km/h é

Resposta

A velocidade média associada ao percurso total do carro é:
vmédia = -160raiz23,i + -160 + 160raiz23,j km/h é
E o módulo dessa velocidade média é aproximadamente 78,55 km/h.

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