A velocidade v de um satélite rasante à Terra é dada por v=g^alpha R^beta, onde g é a aceleração da gravidade nas vizinhanças da Terra e R é o raio da Terra. Determine os valores de alpha e beta e escreva a fórmula da velocidade do satélite.

Passo 1

Beleza, temos um exercício que fala sobre a velocidade de um satélite que está passando bem perto da Terra. A fórmula que nos deram é , onde é a aceleração da gravidade perto da Terra e é o raio da Terra. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os valores de e e, com isso, escrever a fórmula completa para a velocidade desse satélite. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade de um satélite está relacionada com a gravidade e o tamanho da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da aceleração da gravidade na superfície da Terra. Ela é dada por:
g = G MR^2
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa da Terra, e é o raio da Terra. Essa fórmula nos mostra como a gravidade depende da massa e do raio da Terra.

Passo 3

Agora, vamos pensar na velocidade de um satélite que está em órbita circular ao redor da Terra. A velocidade necessária para manter o satélite nessa órbita é dada por:
v = raizG MR
Essa fórmula vem do equilíbrio entre a força centrípeta necessária para manter o satélite em movimento circular e a força gravitacional que a Terra exerce sobre ele.

Passo 4

Observando a fórmula da velocidade G M = g R^2 e a fórmula da gravidade v = raizg R^2R = raizg R , podemos isolar na equação da gravidade:
Agora, substituímos na fórmula da velocidade:

Passo 5

Agora, comparamos a expressão que encontramos raizg R = g^12 R^12 com a fórmula dada no enunciado . Observando os dois lados da equação, percebemos que:
Isso significa que os expoentes de e são ambos iguais a .

Resposta

Os valores são v = raizg R e . Assim, a fórmula da velocidade do satélite é:

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