Um carro de passeio está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas x y (ou r theta ). Obtenha: a posição r(t) do carro de passeio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um carro que está se movendo em um círculo de forma uniforme ao redor da origem de um sistema de coordenadas xy (ou rtheta). Nosso objetivo é encontrar a posição r(t) desse carro em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular uniforme e como representar a posição em coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no movimento circular uniforme, a velocidade angular omega é constante. Isso significa que o carro está dando voltas com uma taxa fixa ao redor do círculo. A posição do carro pode ser descrita usando coordenadas polares, onde r é o raio do círculo e theta(t) é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo x no tempo t.

Passo 3

A relação entre a posição em coordenadas polares e cartesianas é dada por:
r(t) = r cos(theta(t)) i + r sin(theta(t)) j
Aqui, i e j são os vetores unitários nos eixos x e y, respectivamente.

Passo 4

Como o movimento é circular uniforme, o ângulo theta(t) aumenta linearmente com o tempo. Ou seja:
theta(t) = omega t + theta0
onde omega é a velocidade angular e theta0 é o ângulo inicial no tempo t=0. Se considerarmos que theta0 = 0 para simplificar, então:
theta(t) = omega t

Passo 5

Substituindo theta(t) = omega t na equação da posição, temos:
r(t) = r cos(omega t) i + r sin(omega t) j
Essa é a posição do carro em função do tempo no sistema de coordenadas cartesianas.

Resposta

A posição do carro em função do tempo é:
r(t) = r cos(omega t) i + r sin(omega t) j

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