Resolva as seguintes equações exponenciais:
5^3 x-1=125 i^2 x+3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação exponencial:
5^3x -1 = 125 cdot i^2x +3
Aqui, estamos lidando com potências de números, então vamos precisar usar as propriedades das potências para resolver essa equação.

Passo 2

Vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que 5^3x -1 = 5^-2 cdot i^2x +3 pode ser escrita como porque . Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a comparação, vamos expressar de forma que possamos relacionar com a base 5. Sabemos que é a unidade imaginária, e suas potências seguem um ciclo: , , , , e assim por diante.
No entanto, para resolver essa equação real, precisamos que os dois lados sejam iguais em forma real e imaginária. Então, para que isso aconteça, o termo imaginário deve ser igual a zero, já que o lado esquerdo é um número real.

Passo 4

Isso significa que a potência de i^2x +3 = 1 deve resultar em 1, para que não haja parte imaginária. Portanto:
2x + 3 = 4k
Sabemos que 2x = 4k -3, então:
x = 2k - 32
Onde é um número inteiro. Vamos resolver para :

Passo 5

Agora, vamos voltar à equação original substituindo 5^3x -1 = 5^-2:
3x -1 = -2
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
3x = -1
x = -13

Resposta

A solução da equação é .

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