Resolva as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação exponencial:
Aqui, estamos lidando com potências de números, então vamos precisar usar as propriedades das potências para resolver essa equação.
Passo 2
Vamos simplificar o lado direito da equação. Sabemos que
pode ser escrita como
porque
. Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a comparação, vamos expressar
de forma que possamos relacionar com a base 5. Sabemos que
é a unidade imaginária, e suas potências seguem um ciclo:
,
,
,
, e assim por diante.
No entanto, para resolver essa equação real, precisamos que os dois lados sejam iguais em forma real e imaginária. Então, para que isso aconteça, o termo imaginário deve ser igual a zero, já que o lado esquerdo é um número real.
Passo 4
Isso significa que a potência de
deve resultar em 1, para que não haja parte imaginária. Portanto:
Sabemos que
, então:
Onde
é um número inteiro. Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora, vamos voltar à equação original substituindo
:
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Resposta
A solução da equação é
.