Um carro de polícia soa sua sirene e está se aproximando a 27 m / s de um pedestre estacionário. O policial no carro escuta a sirene a 12,6 kHz e o pedestre, a 13,7 kHz. Determine a temperatura do ar. Suponha que a velocidade do som no ar aumente linearmente com a temperatura no intervalo de 0^circ C a 20^circ. Dados v(som)= 331 m / s a 0^0 C e v ( som )=343 m / s a 20^circ C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro de polícia que se aproxima de um pedestre a uma velocidade de . O policial que está no carro ouve a sirene a uma frequência de , enquanto o pedestre estacionário ouve a frequência a . Precisamos determinar a temperatura do ar. Para isso, utilizaremos o Efeito Doppler, que descreve como a frequência de uma onda muda em relação ao movimento da fonte ou do observador. Além disso, sabemos que a velocidade do som no ar aumenta linearmente com a temperatura entre e , com a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a velocidade do som com a temperatura. Sabemos que a velocidade do som v = v0 + kT aumenta linearmente com a temperatura 343 = 331 + k times 20 no intervalo dado. Podemos escrever a relação como:
343 - 331 = 20k
Onde:
  • 12 = 20k é a velocidade do som a k = 1220 = 0,6 , m/s°C ,
  • v = 331 + 0,6T (m/s) é a constante que relaciona a variação da velocidade com a temperatura,
  • é a temperatura em graus Celsius.
Sabemos que a , . Vamos encontrar :
Então, a relação entre a velocidade do som e a temperatura é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Efeito Doppler. No caso, temos duas observações de frequência:
  1. O policial no carro (fonte em movimento) ouve a frequência fp = vv - vs fs .
  2. O pedestre (observador estacionário) ouve a frequência fo = vv fs = fs .
Vamos considerar que a sirene está emitindo uma frequência fo = vv - vs fs . Precisamos relacionar fp = v + vov - vs fs e com usando as fórmulas do Efeito Doppler.
Para o caso do policial (fonte em movimento em direção ao observador):
Onde:
  • é a velocidade do som,
  • é a velocidade da fonte (carro) em direção ao observador.
Para o pedestre (observador estacionário):
Mas, na verdade, se a fonte está se aproximando do observador, ambas as observações devem refletir esse movimento. Portanto, precisamos reconsiderar as fórmulas:
Para o observador estacionário (pedestre):
Para o observador em movimento (policial):
Onde é a velocidade do observador (no caso, o policial está se movendo na direção da fonte, então ).
No entanto, para simplificar, assumiremos que a frequência observada pelo pedestre é , e focaremos na relação entre e para encontrar a velocidade do som e, consequentemente, a temperatura.

Passo 4

Vamos relacionar as frequências fpfo = v + vov e fpfo = 1 + vov :
1 + vov = fpfo
Sabemos que vov = fpfo - 1 e queremos encontrar v = vofpfo - 1 . Rearranjando a fórmula:
fp = 12,6 , kHz = 12.600 , Hz
fo = 13,7 , kHz = 13.700 , Hz
vo = 27 , m/s
Agora, substituímos os valores:

Passo 5

Calculando v = 2712.60013.700 - 1 :
12.60013.700 approx 0,9197
Primeiro, calculamos a razão das frequências:
0,9197 - 1 = -0,0803
v = 27-0,0803 approx -335,5 , m/s
No entanto, a velocidade do som não pode ser negativa, o que indica que houve um erro na aplicação das fórmulas ou na interpretação dos dados. Vamos reconsiderar as observações:
  • O policial está se movendo em direção ao pedestre, portanto, para o pedestre, a frequência observada deveria ser maior que .
  • Para o policial, que também está se movendo em direção à fonte (no sentido inverso), a frequência deveria ser diferente.
Vamos ajustar a abordagem.

Passo 6

Vamos reconsiderar as fórmulas do Efeito Doppler para ambas as observações:
  1. Para o pedestre (observador estacionário):
Quando a fonte se move em direção ao observador, a frequência observada é:
fo = vv - vs fs
  1. Para o policial (observador em movimento em direção à fonte):
Quando o observador se move em direção à fonte, a frequência observada é:
fp = v + vov - vs fs
Aqui, fpfo = v + vov .
Podemos dividir as duas equações para eliminar fpfo = 1 + vov :
vov = fpfo - 1
Agora, rearranjando:
v = vofpfo - 1
v = 2712.60013.700 - 1 = 270,9197 - 1 = 27-0,0803 approx -335,5 , m/s
Substituindo os valores:
Ainda obtemos um valor negativo, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que devemos verificar novamente as relações ou os dados fornecidos.

Passo 7

Vamos inverter as observações:
  • Suponha que fpfo = v + vov (observado pelo policial) e 13.70012.600 = 1 + 27v (observado pelo pedestre). Isso faria sentido, pois o pedestre estacionário ouviria a frequência maior devido à aproximação do carro, e o policial no carro ouviria uma frequência menor devido ao movimento relativo.
Reaplicando as fórmulas:
13.70012.600 - 1 = 27v
1,0873 - 1 = 27v
0,0873 = 27v
v = 270,0873 approx 309,5 , m/s
Agora, esse valor faz mais sentido dentro do intervalo esperado para a velocidade do som.

Passo 8

Com a velocidade do som encontrada v = 331 + 0,6T , vamos relacioná-la com a temperatura usando a equação:
309,5 = 331 + 0,6T
Resolvendo para 309,5 - 331 = 0,6T :
-21,5 = 0,6T
T = -21,50,6 approx -35,83^circ C
No entanto, isso está fora do intervalo considerado (0°C a 20°C). Isso sugere que houve um erro na interpretação das observações ou na aplicação das fórmulas.

Passo 9

Reavaliando, percebemos que a velocidade do som a 0°C é 331 m/s e a 20°C é 343 m/s. O valor encontrado anteriormente ( ) está abaixo desse intervalo, o que não é possível. Portanto, devemos concluir que há uma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação das observações.
Para manter a coerência com o intervalo de temperatura fornecido, assumiremos que houve um erro na atribuição das frequências observadas e recalcularemos considerando para o pedestre e para o policial.

Passo 10

Aplicando novamente a fórmula corretamente:
fpfo = v + vov Rightarrow 12.60013.700 = 1 + 27v Rightarrow 12.60013.700 - 1 = 27v
12.60013.700 approx 0,918
0,918 - 1 = -0,082 = 27v
v = 27-0,082 approx -329,3 , m/s
Novamente, obtemos um valor negativo. Diante disso, concluímos que, com os dados fornecidos, não é possível determinar uma temperatura válida no intervalo dado. Pode ser que as frequências observadas estejam invertidas ou que haja um erro nos valores fornecidos.

Resposta

Não é possível determinar a temperatura do ar com os dados fornecidos dentro do intervalo de a .

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