Um carro de polícia soa sua sirene e está se aproximando a de um pedestre estacionário. O policial no carro escuta a sirene a e o pedestre, a . Determine a temperatura do ar. Suponha que a velocidade do som no ar aumente linearmente com a temperatura no intervalo de a . Dados a e v som a .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro de polícia que se aproxima de um pedestre a uma velocidade de . O policial que está no carro ouve a sirene a uma frequência de , enquanto o pedestre estacionário ouve a frequência a . Precisamos determinar a temperatura do ar. Para isso, utilizaremos o Efeito Doppler, que descreve como a frequência de uma onda muda em relação ao movimento da fonte ou do observador. Além disso, sabemos que a velocidade do som no ar aumenta linearmente com a temperatura entre e , com a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a velocidade do som com a temperatura. Sabemos que a velocidade do som aumenta linearmente com a temperatura no intervalo dado. Podemos escrever a relação como:
Onde:
  • é a velocidade do som a ,
  • é a constante que relaciona a variação da velocidade com a temperatura,
  • é a temperatura em graus Celsius.
Sabemos que a , . Vamos encontrar :
Então, a relação entre a velocidade do som e a temperatura é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Efeito Doppler. No caso, temos duas observações de frequência:
  1. O policial no carro (fonte em movimento) ouve a frequência .
  2. O pedestre (observador estacionário) ouve a frequência .
Vamos considerar que a sirene está emitindo uma frequência . Precisamos relacionar e com usando as fórmulas do Efeito Doppler.
Para o caso do policial (fonte em movimento em direção ao observador):
Onde:
  • é a velocidade do som,
  • é a velocidade da fonte (carro) em direção ao observador.
Para o pedestre (observador estacionário):
Mas, na verdade, se a fonte está se aproximando do observador, ambas as observações devem refletir esse movimento. Portanto, precisamos reconsiderar as fórmulas:
Para o observador estacionário (pedestre):
Para o observador em movimento (policial):
Onde é a velocidade do observador (no caso, o policial está se movendo na direção da fonte, então ).
No entanto, para simplificar, assumiremos que a frequência observada pelo pedestre é , e focaremos na relação entre e para encontrar a velocidade do som e, consequentemente, a temperatura.

Passo 4

Vamos relacionar as frequências e :
Sabemos que e queremos encontrar . Rearranjando a fórmula:
Agora, substituímos os valores:

Passo 5

Calculando :
Primeiro, calculamos a razão das frequências:
No entanto, a velocidade do som não pode ser negativa, o que indica que houve um erro na aplicação das fórmulas ou na interpretação dos dados. Vamos reconsiderar as observações:
  • O policial está se movendo em direção ao pedestre, portanto, para o pedestre, a frequência observada deveria ser maior que .
  • Para o policial, que também está se movendo em direção à fonte (no sentido inverso), a frequência deveria ser diferente.
Vamos ajustar a abordagem.

Passo 6

Vamos reconsiderar as fórmulas do Efeito Doppler para ambas as observações:
  1. Para o pedestre (observador estacionário):
Quando a fonte se move em direção ao observador, a frequência observada é:
  1. Para o policial (observador em movimento em direção à fonte):
Quando o observador se move em direção à fonte, a frequência observada é:
Aqui, .
Podemos dividir as duas equações para eliminar :
Agora, rearranjando:
Substituindo os valores:
Ainda obtemos um valor negativo, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que devemos verificar novamente as relações ou os dados fornecidos.

Passo 7

Vamos inverter as observações:
  • Suponha que (observado pelo policial) e (observado pelo pedestre). Isso faria sentido, pois o pedestre estacionário ouviria a frequência maior devido à aproximação do carro, e o policial no carro ouviria uma frequência menor devido ao movimento relativo.
Reaplicando as fórmulas:
Agora, esse valor faz mais sentido dentro do intervalo esperado para a velocidade do som.

Passo 8

Com a velocidade do som encontrada , vamos relacioná-la com a temperatura usando a equação:
Resolvendo para :
No entanto, isso está fora do intervalo considerado (0°C a 20°C). Isso sugere que houve um erro na interpretação das observações ou na aplicação das fórmulas.

Passo 9

Reavaliando, percebemos que a velocidade do som a 0°C é 331 m/s e a 20°C é 343 m/s. O valor encontrado anteriormente ( ) está abaixo desse intervalo, o que não é possível. Portanto, devemos concluir que há uma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação das observações.
Para manter a coerência com o intervalo de temperatura fornecido, assumiremos que houve um erro na atribuição das frequências observadas e recalcularemos considerando para o pedestre e para o policial.

Passo 10

Aplicando novamente a fórmula corretamente:
Novamente, obtemos um valor negativo. Diante disso, concluímos que, com os dados fornecidos, não é possível determinar uma temperatura válida no intervalo dado. Pode ser que as frequências observadas estejam invertidas ou que haja um erro nos valores fornecidos.

Resposta

Não é possível determinar a temperatura do ar com os dados fornecidos dentro do intervalo de a .

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Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
© Assinale V para Verdadeiro e F para falso nas afirmativas abaixo
Quando duas ondas interferem destrutivamente a energia é perdida para sempre. Então a energia não se conserva nesse caso.