Determine a derivada das funções dada. f(x)=raiz1+4 x^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função f(x)=raiz1+4x^2. Esse problema está relacionado à matéria de cálculo, mais especificamente à derivação de funções. Para resolver, vamos utilizar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função que estamos trabalhando. No caso, temos f(x) = raiz1 + 4x^2. Para aplicar a regra da cadeia, vamos escrever isso como uma função composta. A raiz quadrada é a mesma coisa que elevar à potência 1/2. Assim, podemos reescrever a função:
f(x) = (1 + 4x^2)^1/2
A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função g(u) onde u = h(x), a derivada de g(u) em relação a x é dada por:
dgdx = dgdu cdot dudx
Então, vamos precisar encontrar duas derivadas: a derivada da função externa (que é a raiz) e a derivada da função interna (que é 1 + 4x^2).

Passo 3

Agora vamos encontrar essas derivadas. Começando com a função externa g(u) = u^1/2:
  1. A derivada de g(u) em relação a u é:
g'(u) = 12u^-1/2
  1. A função interna é h(x) = 1 + 4x^2. A derivada de h(x) em relação a x é:
h'(x) = 8x
Agora, juntando tudo isso usando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = g'(h(x)) cdot h'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = 12(1 + 4x^2)^-1/2 cdot 8x

Passo 4

Simplificando essa expressão, podemos multiplicar e obter a forma final da derivada:
f'(x) = 8x2raiz1 + 4x^2
f'(x) = 4xraiz1 + 4x^2

Resposta

A derivada da função f(x) = raiz1 + 4x^2 é f'(x) = 4xraiz1 + 4x^2.

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