Um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x. No instante t=0, o carro vermelho está em xa=0 e o carro verde está em xb=220m. Se o carro vermelho tem uma velocidade constante de 20 k/h, os carros se cruzam em x=44,5 m; se tem uma velocidade constante de 40 k/h, os carros se cruzam em x=76,6 m. Quais são
(a) a velocidade inicial e
(b) a aceleração do carro verde?
(a) a velocidade inicial e
(b) a aceleração do carro verde?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, um vermelho e um verde, que estão se movendo em direção um ao outro em pistas paralelas. No início (quando $ t = 0 $), o carro vermelho está na posição $ x_a = 0 $ e o carro verde está na posição $ x_b = 220 $ metros. A gente sabe que, dependendo da velocidade do carro vermelho, eles se cruzam em posições diferentes. Queremos descobrir:
a) A velocidade inicial do carro verde.
b) A aceleração do carro verde.
Vamos precisar usar conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades do carro vermelho de km/h para m/s, porque as posições estão em metros e o tempo vai estar em segundos. A conversão é:
Então:
- Para 20 km/h:
- Para 40 km/h:
Passo 3
Vamos chamar a velocidade inicial do carro verde de $ v_{0} $ e a aceleração de $ a $. Como o carro verde está se movendo em direção ao carro vermelho, sua posição em função do tempo fica:
E a posição do carro vermelho é:
Eles se cruzam quando as posições são iguais:
Passo 4
Vamos resolver para os dois casos dados:
Caso 1: $ v_{vermelho} = 5,56 , m/s $, se cruzam em $ x = 44,5 , m $.
A posição do carro vermelho:
Substituindo na equação das posições:
Isso dá:
Caso 2: $ v_{vermelho} = 11,11 , m/s $, se cruzam em $ x = 76,6 , m $.
A posição do carro vermelho:
Substituindo na equação das posições:
Calculando:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 6,9 e a Equação 2 por 8 para eliminar $ v_{0} $:
Calculando:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 6
Agora que temos $ a \approx 2,1 , m/s² $, vamos substituir na Equação 1 para encontrar $ v_{0} $:
Resposta
(a) A velocidade inicial do carro verde é aproximadamente $ 13,54 , m/s $.
(b) A aceleração do carro verde é aproximadamente $ 2,1 , m/s² $.