Um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x. No instante t=0, o carro vermelho está em xa=0 e o carro verde está em xb=220m. Se o carro vermelho tem uma velocidade constante de 20 k/h, os carros se cruzam em x=44,5 m; se tem uma velocidade constante de 40 k/h, os carros se cruzam em x=76,6 m. Quais são
(a) a velocidade inicial e
(b) a aceleração do carro verde?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros, um vermelho e um verde, que estão se movendo em direção um ao outro em pistas paralelas. No início (quando $ t = 0 $), o carro vermelho está na posição $ x_a = 0 $ e o carro verde está na posição $ x_b = 220 $ metros. A gente sabe que, dependendo da velocidade do carro vermelho, eles se cruzam em posições diferentes. Queremos descobrir:
a) A velocidade inicial do carro verde.
b) A aceleração do carro verde.
Vamos precisar usar conceitos de movimento uniforme e uniformemente variado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades do carro vermelho de km/h para m/s, porque as posições estão em metros e o tempo vai estar em segundos. A conversão é:
Velocidade (m/s) = Velocidade (km/h) times 10003600
Então:
  • Para 20 km/h:
20 times 10003600 approx 5,56 , m/s
  • Para 40 km/h:
40 times 10003600 approx 11,11 , m/s

Passo 3

Vamos chamar a velocidade inicial do carro verde de $ v_{0} $ e a aceleração de $ a $. Como o carro verde está se movendo em direção ao carro vermelho, sua posição em função do tempo fica:
v0
E a posição do carro vermelho é:
a
Eles se cruzam quando as posições são iguais:
xverde(t) = 220 - v0 t - 12 a t^2

Passo 4

Vamos resolver para os dois casos dados:
Caso 1: $ v_{vermelho} = 5,56 , m/s $, se cruzam em $ x = 44,5 , m $.
A posição do carro vermelho:
vvermelho = 5,56 , m/s
Substituindo na equação das posições:
x = 44,5 , m
Isso dá:
44,5 = 5,56 t implies t = 44,55,56 approx 8 , s
5,56 times 8 = 220 - v0 times 8 - 12 a times 8^2 çã
Caso 2: $ v_{vermelho} = 11,11 , m/s $, se cruzam em $ x = 76,6 , m $.
A posição do carro vermelho:
44,5 = 220 - 8v0 - 32a
Substituindo na equação das posições:
8v0 + 32a = 220 - 44,5 = 175,5 (Equação 1)
Calculando:
vvermelho = 11,11 , m/s
x = 76,6 , m çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
8v0 + 32a = 175,5 (Equação 1) 6,9v0 + 23,8a = 143,4 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 6,9 e a Equação 2 por 8 para eliminar $ v_{0} $:
v0
Calculando:
8v0 times 6,9 + 32a times 6,9 = 175,5 times 6,9 6,9v0 times 8 + 23,8a times 8 = 143,4 times 8
Subtraindo a segunda equação da primeira:
55,2v0 + 220,8a = 1210,95 55,2v0 + 190,4a = 1147,2
(55,2v0 + 220,8a) - (55,2v0 + 190,4a) = 1210,95 - 1147,2
30,4a = 63,75 ²

Passo 6

Agora que temos $ a \approx 2,1 , m/s² $, vamos substituir na Equação 1 para encontrar $ v_{0} $:
a approx 2,1 , m/s²
v0
8v0 + 32 times 2,1 = 175,5
8v0 + 67,2 = 175,5

Resposta

(a) A velocidade inicial do carro verde é aproximadamente $ 13,54 , m/s $.
(b) A aceleração do carro verde é aproximadamente $ 2,1 , m/s² $.

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