O vetor de posição de uma partícula, como função do tempo, vem dado por r(t)=(t^2+2 t) i+(t-1) j+(t^2-2) k, onde t está em segundos e r em metros. (e) Determine o instante no qual a velocidade é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição de uma partícula dado por r(t) = (t^2+2 t) i + (t-1) j + (t^2-2) k, onde t é o tempo em segundos e r está em metros. A tarefa aqui é descobrir em que instante a velocidade da partícula é máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas e otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de r(t):
v(t) = drdt = ddt(t^2 + 2t) i + ddt(t - 1) j + ddt(t^2 - 2) k
Calculando as derivadas:
v(t) = (2t + 2) i + (1) j + (2t) k

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. A velocidade escalar |v(t)| é dada por:
|v(t)| = raiz(2t + 2)^2 + (1)^2 + (2t)^2
Vamos simplificar essa expressão:
|v(t)| = raiz(4t^2 + 8t + 4) + 1 + 4t^2 = raiz8t^2 + 8t + 5

Passo 4

Para encontrar o instante em que a velocidade é máxima, precisamos analisar quando a função |v(t)| atinge seu valor máximo. Primeiro, vamos observar a função dentro da raiz:
f(t) = 8t^2 + 8t + 5
Essa é uma função quadrática do tipo at^2 + bt + c, onde a = 8 > 0. Como o coeficiente de t^2 é positivo, a parábola se abre para cima, o que significa que a função f(t) tem um ponto mínimo e tende ao infinito quando t aumenta ou diminui indefinidamente.

Passo 5

Já que f(t) representa o quadrado da velocidade e ela aumenta indefinidamente conforme t aumenta, isso implica que a velocidade |v(t)| também aumenta sem limite conforme o tempo cresce. Portanto, não há um instante finito em que a velocidade atinge um valor máximo; ela continua crescendo à medida que o tempo passa.

Resposta

A velocidade da partícula aumenta continuamente conforme o tempo aumenta, não havendo um instante finito em que a velocidade seja máxima.

Exercícios relacionados