O vetor de posição de uma partícula, como função do tempo, vem dado por
, onde
está em segundos e
em metros. (e) Determine o instante no qual a velocidade é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição de uma partícula dado por
, onde
é o tempo em segundos e
está em metros. A tarefa aqui é descobrir em que instante a velocidade da partícula é máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas e otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos determinar a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. A velocidade escalar
é dada por:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Para encontrar o instante em que a velocidade é máxima, precisamos analisar quando a função
atinge seu valor máximo. Primeiro, vamos observar a função dentro da raiz:
Essa é uma função quadrática do tipo
, onde
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola se abre para cima, o que significa que a função
tem um ponto mínimo e tende ao infinito quando
aumenta ou diminui indefinidamente.
Passo 5
Já que
representa o quadrado da velocidade e ela aumenta indefinidamente conforme
aumenta, isso implica que a velocidade
também aumenta sem limite conforme o tempo cresce. Portanto, não há um instante finito em que a velocidade atinge um valor máximo; ela continua crescendo à medida que o tempo passa.
Resposta
A velocidade da partícula aumenta continuamente conforme o tempo aumenta, não havendo um instante finito em que a velocidade seja máxima.