O vetor de posição de uma partícula, como função do tempo, vem dado por , onde está em segundos e em metros. (a) Determinar a velocidade instantânea, (b) a aceleração instantânea. © Existe algum valor de tal que a velocidade é nula? Caso afimarmativo determine esse instante. (d) Determine a distância entre a posição em e a posição em . (e) Determine o instante no qual a velocidade é máxima e (f) determine o instante no qual a velocidade é mínima. Sugestão: em (e) e (f) note que a questão só faz sentido quando considerarmos a velocidade escalar.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula em função do tempo, que é dado por:
O que a gente precisa aqui envolve conceitos de cinemática vetorial, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender o que significa a velocidade ser nula e calcular distâncias no espaço. Vamos usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, resolver equações para descobrir valores de , e aplicar fórmulas de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade instantânea. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Derivando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos achar a aceleração instantânea. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos :
Derivando cada componente:

Passo 4

Vamos verificar se existe algum instante onde a velocidade é nula. Isso significa que todas as componentes de devem ser zero:
Observamos que a segunda equação nunca é verdadeira. Portanto, não existe nenhum valor de que torne a velocidade nula.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre a posição em e em .
Primeiro, encontramos e :
A distância entre dois pontos é a magnitude do vetor diferença:
Calculando a magnitude:
â

Passo 6

Por fim, vamos determinar os instantes em que a velocidade escalar é máxima e mínima. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a e igualamos a zero:
A derivada será zero quando :
No entanto, como o tempo não pode ser negativo nesse contexto físico, não há instantes de tempo real onde a velocidade é máxima ou mínima dentro do domínio considerado.

Resposta

(a) A velocidade instantânea é metros por segundo.
(b) A aceleração instantânea é metros por segundo ao quadrado.
© Não existe nenhum valor de tal que a velocidade seja nula.
(d) A distância entre a posição em e é aproximadamente 9,17 metros.
(e) Não há instantes de tempo reais onde a velocidade escalar é máxima ou mínima dentro do contexto dado.
(f) Não há instantes de tempo reais onde a velocidade escalar �� máxima ou mínima dentro do contexto dado.

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O vetor de posição de uma partícula, como função do tempo, vem dado por , onde está em segundos e em metros. (e) Determine o instante no qual a velocidade é máxima.
Consideremos um corpo de massa .
a) Calcule o peso desse corpo na Terra, onde a aceleração da gravidade tem módulo .
b) Calcule o peso desse corpo na Lua, onde a aceleração da gravidade tem módulo g
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