Então, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula em função do tempo, que é dado por:
O que a gente precisa aqui envolve conceitos de cinemática vetorial, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender o que significa a velocidade ser nula e calcular distâncias no espaço. Vamos usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, resolver equações para descobrir valores de , e aplicar fórmulas de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade instantânea. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Derivando cada parte:
Passo 3
Agora, vamos achar a aceleração instantânea. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos :
Derivando cada componente:
Passo 4
Vamos verificar se existe algum instante onde a velocidade é nula. Isso significa que todas as componentes de devem ser zero:
Observamos que a segunda equação nunca é verdadeira. Portanto, não existe nenhum valor de que torne a velocidade nula.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância entre a posição em e em .
Primeiro, encontramos e :
A distância entre dois pontos é a magnitude do vetor diferença:
Calculando a magnitude:
â
Passo 6
Por fim, vamos determinar os instantes em que a velocidade escalar é máxima e mínima. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a e igualamos a zero:
A derivada será zero quando :
No entanto, como o tempo não pode ser negativo nesse contexto físico, não há instantes de tempo real onde a velocidade é máxima ou mínima dentro do domínio considerado.
Resposta
(a) A velocidade instantânea é metros por segundo.
(b) A aceleração instantânea é metros por segundo ao quadrado.