O vetor de posição de uma partícula, como função do tempo, vem dado por r(t)=(t^2+2 t) i+(t-1) j+(t^2-2) k, onde t está em segundos e r em metros. (a) Determinar a velocidade instantânea, (b) a aceleração instantânea. © Existe algum valor de t tal que a velocidade é nula? Caso afimarmativo determine esse instante. (d) Determine a distância entre a posição em t=0 s e a posição em t=2 s. (e) Determine o instante no qual a velocidade é máxima e (f) determine o instante no qual a velocidade é mínima. Sugestão: em (e) e (f) note que a questão só faz sentido quando considerarmos a velocidade escalar.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula em função do tempo, que é dado por:
r(t) = (t^2 + 2t) i + (t - 1) j + (t^2 - 2) k
O que a gente precisa aqui envolve conceitos de cinemática vetorial, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender o que significa a velocidade ser nula e calcular distâncias no espaço. Vamos usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, resolver equações para descobrir valores de , e aplicar fórmulas de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade instantânea. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de v(t) = dr(t)dt = ddt[(t^2 + 2t) i + (t - 1) j + (t^2 - 2) k] :
v(t) = (2t + 2) i + (1) j + (2t) k
Derivando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos achar a aceleração instantânea. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos a(t) = dv(t)dt = ddt[(2t + 2) i + (1) j + (2t) k] :
a(t) = 2 i + 0 j + 2 k
Derivando cada componente:

Passo 4

Vamos verificar se existe algum instante 2t + 2 &= 0 1 &= 0 2t &= 0 onde a velocidade é nula. Isso significa que todas as componentes de devem ser zero:
Observamos que a segunda equação nunca é verdadeira. Portanto, não existe nenhum valor de que torne a velocidade nula.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre a posição em r(0) = (0^2 + 2 times 0) i + (0 - 1) j + (0^2 - 2) k = 0 i -1 j -2 k e em r(2) = (2^2 + 2 times 2) i + (2 - 1) j + (2^2 - 2) k = (4 + 4) i +1 j +2 k = 8 i +1 j +2 k .
Primeiro, encontramos d = r(2) - r(0) = (8 - 0) i + (1 - (-1)) j + (2 - (-2)) k = 8 i +2 j +4 k e Distância = |d| = raiz8^2 + 2^2 + 4^2 = raiz64 + 4 + 16 = raiz84 approx 9,17 , metros :
A distância entre dois pontos é a magnitude do vetor diferença:
Calculando a magnitude:
â

Passo 6

Por fim, vamos determinar os instantes em que a velocidade escalar é máxima e mínima. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
v(t) = |v(t)| = raiz(2t + 2)^2 + 1^2 + (2t)^2 = raiz(4t^2 + 8t + 4) + 1 + 4t^2 = raiz8t^2 + 8t +5
Para encontrar os extremos, derivamos dvdt = 12(8t^2 +8t +5)^-1/2 times (16t +8) = 0 em relação a 16t +8 =0 Rightarrow t = -816 = -12 e igualamos a zero:
A derivada será zero quando :
No entanto, como o tempo não pode ser negativo nesse contexto físico, não há instantes de tempo real onde a velocidade é máxima ou mínima dentro do domínio considerado.

Resposta

(a) A velocidade instantânea é metros por segundo.
(b) A aceleração instantânea é metros por segundo ao quadrado.
© Não existe nenhum valor de tal que a velocidade seja nula.
(d) A distância entre a posição em e é aproximadamente 9,17 metros.
(e) Não há instantes de tempo reais onde a velocidade escalar é máxima ou mínima dentro do contexto dado.
(f) Não há instantes de tempo reais onde a velocidade escalar �� máxima ou mínima dentro do contexto dado.

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