Então, vamos lá! A gente tem o vetor posição de uma partícula em função do tempo, que é dado por:
O que a gente precisa aqui envolve conceitos de cinemática vetorial, como derivadas para encontrar velocidade e aceleração, além de entender o que significa a velocidade ser nula e calcular distâncias no espaço. Vamos usar derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração, resolver equações para descobrir valores de , e aplicar fórmulas de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade instantânea. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de :
Derivando cada parte:
Passo 3
Agora, vamos achar a aceleração instantânea. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos :
Derivando cada componente:
Passo 4
Vamos verificar se existe algum instante onde a velocidade é nula. Isso significa que todas as componentes de devem ser zero:
Observamos que a segunda equação nunca é verdadeira. Portanto, não existe nenhum valor de que torne a velocidade nula.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância entre a posição em r(0) = (0^2 + 2 times 0) i + (0 - 1) j + (0^2 - 2) k = 0 i -1 j -2 k e em r(2) = (2^2 + 2 times 2) i + (2 - 1) j + (2^2 - 2) k = (4 + 4) i +1 j +2 k = 8 i +1 j +2 k .
Primeiro, encontramos d = r(2) - r(0) = (8 - 0) i + (1 - (-1)) j + (2 - (-2)) k = 8 i +2 j +4 k e Distância = |d| = raiz8^2 + 2^2 + 4^2 = raiz64 + 4 + 16 = raiz84 approx 9,17 , metros :
A distância entre dois pontos é a magnitude do vetor diferença:
Calculando a magnitude:
â
Passo 6
Por fim, vamos determinar os instantes em que a velocidade escalar é máxima e mínima. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Para encontrar os extremos, derivamos dvdt = 12(8t^2 +8t +5)^-1/2 times (16t +8) = 0 em relação a 16t +8 =0 Rightarrow t = -816 = -12 e igualamos a zero:
A derivada será zero quando :
No entanto, como o tempo não pode ser negativo nesse contexto físico, não há instantes de tempo real onde a velocidade é máxima ou mínima dentro do domínio considerado.
Resposta
(a) A velocidade instantânea é metros por segundo.
(b) A aceleração instantânea é metros por segundo ao quadrado.