Um carro A está viajando para norte na rodovia 16 e um carro B está viajando para oeste na rodovia 83. Os dois carros se aproximam da intersecção dessas rodovias. Em um certo momento, o carro A está a 0,3 km da intersecção viajando a 90 km/h, ao passo que o carro B está a 0,4 km da intersecção viajando a 80 km/h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois carros, A e B, se aproximando de uma intersecção. O carro A está a 0,3 km da intersecção indo para o norte na rodovia 16 com uma velocidade de 90 km/h. O carro B está a 0,4 km da intersecção indo para o oeste na rodovia 83 com uma velocidade de 80 km/h. Precisamos encontrar a taxa de variação da distância entre os dois carros naquele instante específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas relacionadas em cálculo, que nos ajuda a encontrar como duas quantidades que mudam em relação ao tempo estão inter-relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a posição dos carros em relação à intersecção. Vamos chamar de a distância do carro A até a intersecção e de a distância do carro B até a intersecção. A distância entre os dois carros, que chamaremos de , forma um triângulo retângulo com e como catetos. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar como a distância está mudando em relação ao tempo, ou seja, queremos . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Sabemos que:
  • km
  • km
  • km/h (velocidade do carro A)
  • km/h (velocidade do carro B)
Primeiro, precisamos encontrar no instante considerado usando o teorema de Pitágoras:

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na equação derivada:
Calculando o lado direito:
Então:

Passo 6

Para encontrar , dividimos ambos os lados por 0,5:

Resposta

A taxa de variação da distância entre os carros nesse instante é de 118 km/h.

Exercícios relacionados

Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
f é uma função racional;
Seja f(x, y)=ccx^2 sin ((x^2+y^2)^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
Verifique que f é contínua em (0,0).
Obtenha uma reparametrização da Ciclóide:
α(t) = (a(t - sen(t)), a(1 - cos(t))), 0 < t < 2*pi
pelo comprimento de arco
Sendo f, g: R -> R^3 dadas por f(t) = (cos(t), sen(t), t), g(t) = (t, t^2, t^3), e psi: R -> R dada por psi(t) = e^(t^2), calcule
g * f