Um carro A está viajando para norte na rodovia 16 e um carro B está viajando para oeste na rodovia 83. Os dois carros se aproximam da intersecção dessas rodovias. Em um certo momento, o carro A está a da intersecção viajando a , ao passo que o carro B está a da intersecção viajando a . Qual a taxa de variação da distância entre os carros nesse instante?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois carros, A e B, se aproximando de uma intersecção. O carro A está a 0,3 km da intersecção indo para o norte na rodovia 16 com uma velocidade de 90 km/h. O carro B está a 0,4 km da intersecção indo para o oeste na rodovia 83 com uma velocidade de 80 km/h. Precisamos encontrar a taxa de variação da distância entre os dois carros naquele instante específico. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas relacionadas em cálculo, que nos ajuda a encontrar como duas quantidades que mudam em relação ao tempo estão inter-relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a posição dos carros em relação à intersecção. Vamos chamar de a distância do carro A até a intersecção e de a distância do carro B até a intersecção. A distância entre os dois carros, que chamaremos de , forma um triângulo retângulo com e como catetos. Podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar essas distâncias:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar como a distância está mudando em relação ao tempo, ou seja, queremos . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos. Sabemos que:
km
km
km/h (velocidade do carro A)
km/h (velocidade do carro B)
Primeiro, precisamos encontrar no instante considerado usando o teorema de Pitágoras:
Passo 5
Agora, substituímos todos os valores na equação derivada:
Calculando o lado direito:
Então:
Passo 6
Para encontrar , dividimos ambos os lados por 0,5:
Resposta
A taxa de variação da distância entre os carros nesse instante é de 118 km/h.