Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma curva chamada cilcóide, que é descrita pela função:
O que a gente precisa fazer aqui é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco. Basicamente, isso significa que, ao invés de usar o parâmetro para descrever a posição na curva, a gente vai usar o comprimento da curva até aquele ponto, que chamamos de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por . A fórmula geral é:
Onde é a derivada da função em relação a , e é a norma (ou magnitude) desse vetor.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de . Temos:
Então, derivando cada componente em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de :
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que:
E como , fica:
Então:
Passo 6
Agora, podemos expressar o comprimento de arco :
Integrando:
Passo 7
Agora, queremos reparametrizar a curva em termos de ao invés de . Mas primeiro, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :
Então:
E isolando :
Multiplicando por 2:
Passo 8
Agora que temos em função de , podemos substituir na função original para obter a reparametrização:
Resposta
A reparametrização da cículoide pelo comprimento de arco é: