Obtenha uma reparametrização da Ciclóide:
α(t) = (a(t - sen(t)), a(1 - cos(t))), 0 < t < 2*pi
pelo comprimento de arco

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma curva chamada cilcóide, que é descrita pela função:
O que a gente precisa fazer aqui é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco. Basicamente, isso significa que, ao invés de usar o parâmetro para descrever a posição na curva, a gente vai usar o comprimento da curva até aquele ponto, que chamamos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por . A fórmula geral é:
Onde é a derivada da função em relação a , e é a norma (ou magnitude) desse vetor.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Temos:
Então, derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de :
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Sabemos que:
E como , fica:
Então:

Passo 6

Agora, podemos expressar o comprimento de arco :
Integrando:

Passo 7

Agora, queremos reparametrizar a curva em termos de ao invés de . Mas primeiro, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :
Então:
E isolando :
Multiplicando por 2:

Passo 8

Agora que temos em função de , podemos substituir na função original para obter a reparametrização:

Resposta

A reparametrização da cículoide pelo comprimento de arco é:

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