Então, galera, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente quando não é o ponto e quando é exatamente . A questão quer saber se essa função é contínua no ponto . Para resolver isso, a gente precisa entender o que é continuidade e verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0) é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual a . No nosso caso, precisamos verificar se:
Sabemos que , então precisamos calcular esse limite.
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, usamos x = r cos(theta) e y = r sin(theta) para representar a distância do ponto f(x, y) = x^2 sin((x^2 + y^2)^2)x^2 + y^2 = r^2 cos^2(theta) sin(r^4)r^2 = cos^2(theta) sin(r^4) até a origem e para o ângulo. As relações são:
Dessa forma, e a função fica:
Passo 4
Agora, queremos ver o que acontece com f(x, y) approx cos^2(theta) cdot r^4 quando tende a 0. Sabemos que quando é pequeno pode ser aproximado por , pois para pequeno. Então: