Determine (com justificativa) o conjunto dos pontos nos quais as funções abaixo são diferenciáveis:
f é uma função racional;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos a função , que é uma função racional, é diferenciável. Então, estamos lidando com cálculo diferencial e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função racional e o que significa ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, uma função racional é basicamente uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Por exemplo, , onde e são polinômios. O lance importante aqui é que a função só está definida quando o denominador não é zero, porque não dá pra dividir por zero, né?

Passo 3

Agora, sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver uma derivada nesse ponto, ou seja, se ela for suave e não tiver “quebras” ou “pontas” ali. Para funções racionais, isso normalmente acontece em todos os lugares onde a função está definida.

Passo 4

Então, juntando as duas ideias: a função racional é diferenciável em todos os pontos onde ela está definida. A única coisa que pode impedir a diferenciabilidade é se o denominador for zero, porque aí a função nem existe naquele ponto e, portanto, não pode ser diferenciável.

Resposta

A função racional é diferenciável em todos os pontos onde o denominador não é zero, ou seja, em todos os reais tais que .

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