Uma casa de boneca tem uma escala de 1: 12 em relação a uma casa de verdade, e uma miniatura de casa de boneca (feita para caber em uma casa de boneca) tem uma escala de 1: 144 em relação a uma casa de verdade. Suponha que uma casa de verdade (Fig.) tem
de comprimento,
de largura,
de altura e um telhado inclinado padrão (cm perfil de um triângulo isósceles) de
de altura. Qual é o volume, em metros cúbicos (a) da casa de verdade; (b) da casa de bonecas e © da miniatura d casa de bonecas correspondente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casa de verdade com medidas específicas e duas versões em escala: uma casa de bonecas (1:12) e uma miniatura de casa de bonecas (1:144). O que precisamos calcular é o volume dessas três casas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados ao volume de prismas retangulares e prismas triangulares, além de entender como as escalas afetam esses volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da casa de verdade. A casa tem uma parte principal que é um paralelepípedo (ou prisma retangular) e um telhado que é um prisma triangular. O volume total vai ser a soma desses dois volumes.
Passo 3
Vamos calcular o volume da parte principal da casa. As medidas são:
- Comprimento: 20 metros
- Largura: 12 metros
- Altura: 6 metros
A fórmula do volume de um paralelepípedo é:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume do telhado, que é um prisma triangular. As medidas são:
- Comprimento: 20 metros (igual ao da base)
- Base do triângulo: 12 metros (igual à largura da casa)
- Altura do triângulo: 3 metros
A fórmula do volume de um prisma triangular é:
Primeiro, calculamos a área do triângulo:
Então, o volume do telhado é:
Passo 5
Agora, somamos os volumes da base e do telhado para obter o volume total da casa de verdade:
Passo 6
Vamos passar para a casa de bonecas, que está na escala 1:12 em relação à casa de verdade. Quando lidamos com escalas, os volumes mudam de acordo com o fator de escala ao cubo. Isso porque o volume depende de três dimensões (comprimento, largura e altura).
Então, o volume da casa de bonecas é:
Calculando:
Passo 7
Agora, a miniatura da casa de bonecas está na escala 1:144 em relação à casa de verdade. Mas como ela é feita para caber dentro da casa de bonecas, a escala efetiva entre a miniatura e a casa de bonecas é 1:12 (porque 1:12 multiplicado por 1:12 dá 1:144).
Portanto, o volume da miniatura é:
Calculando:
Resposta
(a) O volume da casa de verdade é de 1800 m³;
(b) O volume da casa de bonecas é de aproximadamente 1,04 m³;
© O volume da miniatura de casa de bonecas é de aproximadamente 0,0006 m³.