A posição de uma paertícula r de uma partícula que se move em um plano x y é dado por r=(2 t^3-5 t) imath+(6-7 t^4) jmath com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: (a) r, (b) v e © a para t=3 s. (d) Qual o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente a trajetória da particula em t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é o movimento de uma partícula no plano x-y, cuja posição é dada pela função vetorial . Vamos precisar entender conceitos de vetores posição, velocidade e aceleração, além de como calcular derivadas para encontrar essas grandezas. Também vamos determinar o ângulo entre o eixo x e a reta tangente à trajetória no instante segundos.

Passo 2

a) Calcular r(3) = (2(3)^3 - 5(3))imath + (6 - 7(3)^4)jmath para x = 2(27) - 15 = 54 - 15 = 39 metros s
Primeiro, vamos substituir y = 6 - 7(81) = 6 - 567 = -561 metros na função posição.
r(3) = 39imath - 561jmath metros
Calculando cada componente:
Então,

Passo 3

b) Calcular a velocidade v(t) = drdt = ddt(2t^3 - 5t)imath + ddt(6 - 7t^4)jmath
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de vx(t) = 6t^2 - 5 :
vy(t) = -28t^3
Derivando termo a termo:
v(t) = (6t^2 - 5)imath - 28t^3jmath
Portanto,

Passo 4

c) Calcular a aceleração a(t) = dvdt = ddt(6t^2 - 5)imath + ddt(-28t^3)jmath para ax(t) = 12t s
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Vamos derivar ay(t) = -84t^2 :
ax(3) = 12(3) = 36 m/s^2
Derivando cada componente:
ay(3) = -84(9) = -756 m/s^2
a(3) = 36imath - 756jmath m/s^2
Substituindo :
Então,

Passo 5

d) Calcular o ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória em tan(theta) = vyvx s
A reta tangente à trajetória no instante v(3) = (6(3)^2 - 5)imath - 28(3)^3jmath = (54 - 5)imath - 756jmath = 49imath - 756jmath tem a mesma direção da velocidade tan(theta) = -75649 = -15.4286 . Então, o ângulo theta = arctan(-15.4286) approx -86.3^circ pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
theta approx 86.3^circ
Primeiro, calculamos :
Agora, calculando a tangente:
Para encontrar :
Como estamos interessados no ângulo com o eixo x positivo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

a) metros
b) m/s
c) m/s²
d) O ângulo é aproximadamente com o eixo x positivo.

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