A posição de uma paertícula
de uma partícula que se move em um plano
é dado por
com
em metros e
em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: (a)
, (b)
e ©
para
. (d) Qual o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente a trajetória da particula em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é o movimento de uma partícula no plano x-y, cuja posição é dada pela função vetorial
. Vamos precisar entender conceitos de vetores posição, velocidade e aceleração, além de como calcular derivadas para encontrar essas grandezas. Também vamos determinar o ângulo entre o eixo x e a reta tangente à trajetória no instante
segundos.
Passo 2
a) Calcular
para
s
Primeiro, vamos substituir
na função posição.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
b) Calcular a velocidade
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de
:
Derivando termo a termo:
Portanto,
Passo 4
c) Calcular a aceleração
para
s
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Vamos derivar
:
Derivando cada componente:
Substituindo
:
Então,
Passo 5
d) Calcular o ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória em
s
A reta tangente à trajetória no instante
tem a mesma direção da velocidade
. Então, o ângulo
pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculando a tangente:
Para encontrar
:
Como estamos interessados no ângulo com o eixo x positivo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
a)
metros
b)
m/s
c)
m/s²
d) O ângulo é aproximadamente
com o eixo x positivo.