A posição de uma paertícula de uma partícula que se move em um plano é dado por com em metros e em segundos. Na notação de vetores unitários, calcule: (a) , (b) e © para . (d) Qual o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente a trajetória da particula em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é o movimento de uma partícula no plano x-y, cuja posição é dada pela função vetorial . Vamos precisar entender conceitos de vetores posição, velocidade e aceleração, além de como calcular derivadas para encontrar essas grandezas. Também vamos determinar o ângulo entre o eixo x e a reta tangente à trajetória no instante segundos.

Passo 2

a) Calcular para s
Primeiro, vamos substituir na função posição.
Calculando cada componente:
Então,

Passo 3

b) Calcular a velocidade
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de :
Derivando termo a termo:
Portanto,

Passo 4

c) Calcular a aceleração para s
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Vamos derivar :
Derivando cada componente:
Substituindo :
Então,

Passo 5

d) Calcular o ângulo entre o eixo x positivo e a reta tangente à trajetória em s
A reta tangente à trajetória no instante tem a mesma direção da velocidade . Então, o ângulo pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculando a tangente:
Para encontrar :
Como estamos interessados no ângulo com o eixo x positivo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

a) metros
b) m/s
c) m/s²
d) O ângulo é aproximadamente com o eixo x positivo.

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