Dados os vetores A=-2,0 i+6,0 j-8,0 k e B=7,0 i-14,0 j+20 k, determine: a) a soma e a diferenca entre os dois vetores; b) o ângulo formado entre os dois vetores; c) o produto escalar entre os dois vetores e; d) o produto vetorial entre os dois vetores.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado nos dá dois vetores, A e B, e pede para a gente calcular a soma e a diferença deles, o ângulo entre eles, o produto escalar e o produto vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas operações básicas com vetores, como adição, subtração, cálculo de módulo, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes dos vetores A e B:
A = -2,0,i + 6,0,j -8,0,k
B = 7,0,i -14,0,j +20,k

Passo 3

a) Soma e Diferença entre os Vetores

Soma ( A + B = (-2,0 + 7,0),i + (6,0 -14,0),j + (-8,0 +20),k = 5,0,i -8,0,j +12,k ):
Para somar vetores, somamos cada componente correspondente.
A - B = (-2,0 -7,0),i + (6,0 - (-14,0)),j + (-8,0 -20),k = -9,0,i +20,0,j -28,0,k
Diferença ( ):
Para subtrair vetores, subtraímos cada componente correspondente.

Passo 4

b) Ângulo Entre os Dois Vetores

Para encontrar o ângulo A cdot B = |A|,|B|,cos(theta) entre A e B, usamos a fórmula do produto escalar:
theta = cos^-1(A cdot B|A|,|B|)
Rearranjando para encontrar A cdot B = (-2,0)(7,0) + (6,0)(-14,0) + (-8,0)(20) = -14,0 -84,0 -160,0 = -258,0 :
|A| = raiz(-2,0)^2 + (6,0)^2 + (-8,0)^2 = raiz4,0 + 36,0 + 64,0 = raiz104,0 approx 10,198
Primeiro, calculamos o produto escalar e os módulos:
|B| = raiz(7,0)^2 + (-14,0)^2 + (20)^2 = raiz49,0 + 196,0 + 400 = raiz645,0 approx 25,397
theta = cos^-1(-258,010,198 times 25,397) approx cos^-1(-258,0258,999) approx cos^-1(-0,998) approx 172,9^circ
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 5

c) Produto Escalar entre os Dois Vetores

Já calculamos o produto escalar no passo anterior:
A cdot B = -258,0

Passo 6

d) Produto Vetorial entre os Dois Vetores

O produto vetorial A × B é dado por:
A times B = i & j & k -2,0 & 6,0 & -8,0 7,0 & -14,0 & 20
Calculando o determinante:
A times B = i(6,0 times 20 - (-8,0) times (-14,0)) - j(-2,0 times 20 - (-8,0) times 7,0) + k(-2,0 times (-14,0) - 6,0 times 7,0)
Simplificando:
A times B = i(120,0 - 112,0) - j(-40,0 - (-56,0)) + k(28,0 -42,0)
A times B = i(8,0) - j(16,0) + k(-14,0) = 8,0,i -16,0,j -14,0,k

Resposta

a) Soma:
Diferença:
b) Ângulo entre os vetores:
c) Produto escalar entre os vetores:
d) Produto vetorial entre os vetores:

Exercícios relacionados