Uma casca cilíndrica de espessura desprezível está carregada com densidade superficial de carga
, possui raio
e comprimento
. Calcule a intensidade do campo elétrico num ponto sobre o eixo do cilindro a uma distância
do centro.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma casca cilíndrica super fininha, com raio
e comprimento
, carregada com uma densidade superficial de carga
. A missão é encontrar a intensidade do campo elétrico em um ponto que está no eixo do cilindro, a uma distância
do centro. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo elétrico devido a uma carga distribuída e como integrar contribuições de pequenas partes da carga.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que a casca cilíndrica é feita de pequenos pedaços, cada um com uma cargazinha. Esses pedacinhos vão contribuir para o campo elétrico no ponto que estamos analisando. A densidade superficial de carga
nos diz quanta carga tem em cada área da casca.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento
do cilindro. A carga nesse elemento é
, já que a área de um retângulo que forma o cilindro é a circunferência
vezes o comprimento
.
Passo 4
O próximo passo é calcular o campo elétrico
gerado por esse pequeno pedaço de carga
no ponto de interesse. Usamos a fórmula do campo elétrico de uma carga pontual:
onde
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o campo. Aqui,
, já que formam um triângulo retângulo.
Passo 5
Como estamos trabalhando no eixo do cilindro, só a componente do campo na direção do eixo (a direção de
) vai se somar. As componentes perpendiculares se cancelam. A componente do campo na direção
é:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Essa é a contribuição do campo elétrico de um pequeno elemento da casca no ponto desejado.
Resposta
A intensidade do campo elétrico no ponto sobre o eixo do cilindro a uma distância
do centro é: