Uma casca cilíndrica de espessura desprezível está carregada com densidade superficial de carga , possui raio e comprimento . Calcule a intensidade do campo elétrico num ponto sobre o eixo do cilindro a uma distância do centro.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma casca cilíndrica super fininha, com raio e comprimento , carregada com uma densidade superficial de carga . A missão é encontrar a intensidade do campo elétrico em um ponto que está no eixo do cilindro, a uma distância do centro. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo elétrico devido a uma carga distribuída e como integrar contribuições de pequenas partes da carga.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a casca cilíndrica é feita de pequenos pedaços, cada um com uma cargazinha. Esses pedacinhos vão contribuir para o campo elétrico no ponto que estamos analisando. A densidade superficial de carga nos diz quanta carga tem em cada área da casca.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento do cilindro. A carga nesse elemento é , já que a área de um retângulo que forma o cilindro é a circunferência vezes o comprimento .

Passo 4

O próximo passo é calcular o campo elétrico gerado por esse pequeno pedaço de carga no ponto de interesse. Usamos a fórmula do campo elétrico de uma carga pontual:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde queremos calcular o campo. Aqui, , já que formam um triângulo retângulo.

Passo 5

Como estamos trabalhando no eixo do cilindro, só a componente do campo na direção do eixo (a direção de ) vai se somar. As componentes perpendiculares se cancelam. A componente do campo na direção é:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Essa é a contribuição do campo elétrico de um pequeno elemento da casca no ponto desejado.

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto sobre o eixo do cilindro a uma distância do centro é:

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