A posição angular de um ponto de uma roda é dada por
, onde
está em radianos e t em segundos. Em
, qual é (a) a posição e (b) a velocidade angular do ponto? © Qual é a velocidade angular em
s? (d) Calcule a aceleração angular em
. (e) A aceleração angular da roda é constante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve a posição angular de um ponto numa roda ao longo do tempo:
, onde
está em radianos e
em segundos. A gente precisa descobrir:
a) A posição no tempo
.
b) A velocidade angular no tempo
.
c) A velocidade angular no tempo
segundos.
d) A aceleração angular no tempo
segundos.
e) Se a aceleração angular é constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar a posição
quando
.
A posição é diretamente dada pela equação:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a velocidade angular no tempo
.
A velocidade angular (
) é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
Agora, substituindo
:
Passo 4
Passando para a parte ©: encontrar a velocidade angular no tempo
segundos.
Usamos a mesma expressão da velocidade angular:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos para a parte (d): calcular a aceleração angular no tempo
segundos.
A aceleração angular (
) é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade:
Substituindo
:
Passo 6
Por fim, na parte (e): verificar se a aceleração angular é constante.
Observamos a expressão da aceleração angular:
Como há um termo que depende de
(
), isso significa que a aceleração angular muda com o tempo. Portanto, a aceleração angular não é constante.
Resposta
a) A posição em
é
radianos.
b) A velocidade angular em
é
rad/s.
c) A velocidade angular em
s é
rad/s.
d) A aceleração angular em
s é
rad/s².
e) A aceleração angular da roda não é constante.