A posição angular de um ponto de uma roda é dada por , onde está em radianos e t em segundos. Em , qual é (a) a posição e (b) a velocidade angular do ponto? © Qual é a velocidade angular em s? (d) Calcule a aceleração angular em . (e) A aceleração angular da roda é constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve a posição angular de um ponto numa roda ao longo do tempo: , onde está em radianos e em segundos. A gente precisa descobrir:
a) A posição no tempo .
b) A velocidade angular no tempo .
c) A velocidade angular no tempo segundos.
d) A aceleração angular no tempo segundos.
e) Se a aceleração angular é constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar a posição quando .
A posição é diretamente dada pela equação:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a velocidade angular no tempo .
A velocidade angular ( ) é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
Agora, substituindo :

Passo 4

Passando para a parte ©: encontrar a velocidade angular no tempo segundos.
Usamos a mesma expressão da velocidade angular:
Substituindo :

Passo 5

Vamos para a parte (d): calcular a aceleração angular no tempo segundos.
A aceleração angular ( ) é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade:
Substituindo :

Passo 6

Por fim, na parte (e): verificar se a aceleração angular é constante.
Observamos a expressão da aceleração angular:
Como há um termo que depende de ( ), isso significa que a aceleração angular muda com o tempo. Portanto, a aceleração angular não é constante.

Resposta

a) A posição em é radianos.
b) A velocidade angular em é rad/s.
c) A velocidade angular em s é rad/s.
d) A aceleração angular em s é rad/s².
e) A aceleração angular da roda não é constante.

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