A posição angular de um ponto de uma roda é dada por theta=2,0+4,0 t+2,0 t^2 +2,0 t^3, onde theta está em radianos e t em segundos. Em t=0, qual é (a) a posição e (b) a velocidade angular do ponto? © Qual é a velocidade angular em t=4,0 s? (d) Calcule a aceleração angular em t=2,0 s. (e) A aceleração angular da roda é constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que descreve a posição angular de um ponto numa roda ao longo do tempo: , onde está em radianos e em segundos. A gente precisa descobrir:
a) A posição no tempo .
b) A velocidade angular no tempo .
c) A velocidade angular no tempo segundos.
d) A aceleração angular no tempo segundos.
e) Se a aceleração angular é constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar a posição theta = 2,0 + 4,0 cdot t + 2,0 cdot t^2 + 2,0 cdot t^3 quando theta = 2,0 + 4,0 cdot 0 + 2,0 cdot 0^2 + 2,0 cdot 0^3 = 2,0 radianos .
A posição é diretamente dada pela equação:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a velocidade angular no tempo omega = dthetadt = ddt(2,0 + 4,0 t + 2,0 t^2 + 2,0 t^3) = 4,0 + 4,0 t + 6,0 t^2 .
A velocidade angular ( omega = 4,0 + 4,0 cdot 0 + 6,0 cdot 0^2 = 4,0 rad/s ) é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
Agora, substituindo :

Passo 4

Passando para a parte ©: encontrar a velocidade angular no tempo omega = 4,0 + 4,0 t + 6,0 t^2 segundos.
Usamos a mesma expressão da velocidade angular:
omega = 4,0 + 4,0 cdot 4,0 + 6,0 cdot (4,0)^2 = 4,0 + 16,0 + 96,0 = 116,0 rad/s
Substituindo :

Passo 5

Vamos para a parte (d): calcular a aceleração angular no tempo alpha = domegadt = ddt(4,0 + 4,0 t + 6,0 t^2) = 4,0 + 12,0 t segundos.
A aceleração angular ( alpha = 4,0 + 12,0 cdot 2,0 = 4,0 + 24,0 = 28,0 rad/s^2 ) é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade:
Substituindo :

Passo 6

Por fim, na parte (e): verificar se a aceleração angular é constante.
Observamos a expressão da aceleração angular:
alpha = 4,0 + 12,0 t
Como há um termo que depende de ( ), isso significa que a aceleração angular muda com o tempo. Portanto, a aceleração angular não é constante.

Resposta

a) A posição em é radianos.
b) A velocidade angular em é rad/s.
c) A velocidade angular em s é rad/s.
d) A aceleração angular em s é rad/s².
e) A aceleração angular da roda não é constante.

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