Dois planos paralelos estão uniformemente carregados tal que a distância entre eles é muito menor que o tamanho de cada placa. Os planos superior e inferior possuem densidades superficial de carga sigma e -sigma, respectivamente. Calcule o vetor campo elétrico em pontos acima, abaixo e entre os planos. Considere pontos próximos dos planos. Represente as linhas de campo elétrico nas três regiões.
Resposta: zero acima e abaixo de ambos; E=-sigmaepsilon0 k entre os dois, considerando o eixo z perpendicular aos planos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos paralelos carregados de maneira uniforme, com densidades superficiais de carga sigma e -sigma. A distância entre eles é muito pequena comparada ao tamanho das placas. Queremos calcular o vetor campo elétrico em três regiões diferentes: acima de ambos os planos, abaixo de ambos e entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de campo elétrico devido a uma placa infinita carregada e como combinar campos elétricos para múltiplas fontes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico criado por uma única placa infinita carregada. O campo elétrico devido a uma placa plana infinita com densidade superficial de carga sigma é dado por:
E = sigma2epsilon0 n
onde epsilon0 é a permissividade do vácuo e n é o vetor normal à placa, apontando para fora da placa se sigma for positiva e para dentro se for negativa.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada placa:
  1. Placa superior ( sigma):
    • Campo acima da placa: Eacima = sigma2epsilon0 k
    • Campo abaixo da placa: Eabaixo = sigma2epsilon0 k
  2. Placa inferior ( -sigma):
    • Campo abaixo da placa: Eabaixo = -sigma2epsilon0 (-k) = sigma2epsilon0 k
    • Campo acima da placa: Eacima = -sigma2epsilon0 (-k) = sigma2epsilon0 k

Passo 4

Agora, vamos somar os campos em cada região:
  1. Acima de ambos os planos:
    • Campo da placa superior: sigma2epsilon0 k
    • Campo da placa inferior: sigma2epsilon0 k
    • Campo total: sigma2epsilon0 + sigma2epsilon0 = sigmaepsilon0 k
  2. Entre os dois planos:
    • Campo da placa superior: sigma2epsilon0 k
    • Campo da placa inferior: -sigma2epsilon0 k
    • Campo total: sigma2epsilon0 - sigma2epsilon0 = 0
  3. Abaixo de ambos os planos:
    • Campo da placa superior: sigma2epsilon0 k
    • Campo da placa inferior: sigma2epsilon0 k
    • Campo total: sigma2epsilon0 + sigma2epsilon0 = sigmaepsilon0 k

Resposta

Acima e abaixo dos planos, o campo elétrico é zero. Entre os dois planos, o vetor campo elétrico é dado por:
E = -sigmaepsilon0 k
considerando o eixo z perpendicular aos planos.

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