*Uma casca cilíndrica isolante muito longa possui raio de 6,0 cm e carrega densidade linear de carga de 8,50 mu C/m, uniformemente espalhada pela sua superfície externa. Qual seria a leitura de um voltímetro, se ele estivesse conectado (a) entre a superfície do cilindro e um ponto 4,00 cm acima da superfície e (b) entre a superfície e um ponto a 1,00 cm do eixo central do cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro isolante muito longo com raio de 6,0 cm e uma densidade linear de carga de , espalhada uniformemente na superfície externa. Queremos descobrir qual seria a leitura de um voltímetro quando conectado entre a superfície do cilindro e dois pontos diferentes: (a) 4,00 cm acima da superfície e (b) 1,00 cm do eixo central do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico ao redor do cilindro e, em seguida, integrar esse campo para encontrar a diferença de potencial (voltagem) nas posições especificadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o campo elétrico E(r) = lambda2pi varepsilon0 r ao redor de um cilindro carregado. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar campos elétricos com alta simetria. A fórmula para o campo elétrico fora de um cilindro longo com densidade linear de carga é:
onde:
  • (convertendo de µC/m para C/m),
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a distância radial do eixo do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença de potencial V = -integralr1^r2 E(r) , dr entre dois pontos. A diferença de potencial é a integral do campo elétrico ao longo do caminho entre os dois pontos. A fórmula geral é:
V = -integralr1^r2 lambda2pi varepsilon0 r , dr = -lambda2pi varepsilon0 ln(r2r1)
Substituindo o campo elétrico que encontramos:

Passo 4

Vamos resolver a parte (a) da questão, onde o voltímetro está conectado entre a superfície do cilindro ( Va = -8,50 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 ln(0,100,06) ) e um ponto 4,00 cm acima da superfície. Nesse caso, a distância total do eixo para o ponto é .
Convertendo para metros:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Calculando os valores:
Primeiro, calculemos o fator na frente:
8,50 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 approx 8,50 times 10^-65,56 times 10^-11 approx 1,53 times 10^5 , V/m
Agora, o logaritmo:
ln(0,100,06) approx ln(1,6667) approx 0,5108
Multiplicando tudo:
Va approx -1,53 times 10^5 times 0,5108 approx -7,81 times 10^4 , V
O sinal negativo indica que o potencial diminui no sentido do campo, mas como estamos interessados na magnitude da leitura do voltímetro, consideramos o valor absoluto.

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b), onde o voltímetro está conectado entre a superfície do cilindro ( ) e um ponto a 1,00 cm do eixo central. Aqui, a distância para o ponto interno é .
Como o ponto está dentro do cilindro isolante, o campo elétrico dentro de um material isolante carregado uniformemente é 0 (não há carga dentro), então não há diferença de potencial entre a superfície e um ponto interno.

Resposta

(a) A leitura do voltímetro seria aproximadamente .
(b) A leitura do voltímetro seria .

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