Um cilindro dielétrico infinito de raio
, localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é
. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
a) A densidade superficial de carga ligada
e a densidade volumétrica de carga ligada
.
b) O vetor campo elétrico
nas regiões (i)
e (ii)
.
c) O vetor deslocamento elétrico
nas regiões (i)
e (ii)
.
a) A densidade superficial de carga ligada
b) O vetor campo elétrico
c) O vetor deslocamento elétrico
Passo 1
Então, a gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio
, meio de vácuo, e a polarização
. Precisamos calcular três coisas:
a) As densidades de carga ligada superficial (
) e volumétrica (
).
b) O vetor campo elétrico
em duas regiões: dentro do cilindro (
) e fora dele (
).
c) O vetor deslocamento elétrico
nas mesmas duas regiões.
Vamos precisar de conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente sobre polarização, densidades de carga ligada, e os campos elétricos e de deslocamento em meios dielétricos.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos calcular as densidades de carga ligada.
A densidade volumétrica de carga ligada (
) é dada pela divergência da polarização com sinal negativo:
Como estamos usando coordenadas cilíndricas e
, a divergência em coordenadas cilíndricas é:
Mas
e
, então:
Portanto:
Agora, para a densidade superficial de carga ligada (
), usamos:
No limite da superfície (
), a normal
é radial, então:
Passo 3
Parte b) Vamos encontrar o campo elétrico
nas duas regiões.
Primeiro, lembrando que
.
Dentro do cilindro (
):
A carga ligada volumétrica é
, distribuída uniformemente. Aplicando a lei de Gauss:
A carga total dentro de um cilindro de raio
é:
Portanto:
Fora do cilindro (
):
A carga total dentro do cilindro é:
Então,
para
.
Passo 4
Parte c) Agora, vamos calcular o vetor deslocamento elétrico
.
Dentro do cilindro (
):
Usando
:
Fora do cilindro (
):
Sabemos que
e
(pois a polarização é nula fora):
Resposta
a)
e
b)
para
e
para
c)
tanto para
quanto para