Um cilindro dielétrico infinito de raio a, localizado no vácuo, tem polarização dada por
P=k r r
onde k é uma constante e r é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é epsilon0. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
a) A densidade superficial de carga ligada sigmab e a densidade volumétrica de carga ligada rhob.
b) O vetor campo elétrico E nas regiões (i) r e (ii) r>a.
c) O vetor deslocamento elétrico D nas regiões (i) r e (ii) r>a.

Passo 1

Então, a gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio , meio de vácuo, e a polarização . Precisamos calcular três coisas:
a) As densidades de carga ligada superficial ( ) e volumétrica ( ).
b) O vetor campo elétrico em duas regiões: dentro do cilindro ( ) e fora dele ( ).
c) O vetor deslocamento elétrico nas mesmas duas regiões.
Vamos precisar de conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente sobre polarização, densidades de carga ligada, e os campos elétricos e de deslocamento em meios dielétricos.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos calcular as densidades de carga ligada.
A densidade volumétrica de carga ligada ( rhob = -nabla cdot P ) é dada pela divergência da polarização com sinal negativo:
nabla cdot P = 1r partialpartial r (r Pr) + 1r partial Pthetapartial theta + partial Pzpartial z
Como estamos usando coordenadas cilíndricas e nabla cdot P = 1r partialpartial r (r cdot k r) = 1r partialpartial r (k r^2) = 1r (2k r) = 2k , a divergência em coordenadas cilíndricas é:
rhob = -2k
Mas sigmab = P cdot n e sigmab = Pr = k a , então:
Portanto:
Agora, para a densidade superficial de carga ligada ( ), usamos:
No limite da superfície ( ), a normal é radial, então:

Passo 3

Parte b) Vamos encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qencepsilon0 nas duas regiões.
Primeiro, lembrando que Qenc = rhob cdot pi r^2 L = -2k pi r^2 L .
Dentro do cilindro ( E cdot 2pi r L = -2k pi r^2 Lepsilon0 implies E = -k repsilon0 ):
A carga ligada volumétrica é Qenc = rhob cdot pi a^2 L + sigmab cdot 2pi a L = -2k pi a^2 L + k a cdot 2pi a L = 0 , distribuída uniformemente. Aplicando a lei de Gauss:
A carga total dentro de um cilindro de raio é:
Portanto:
Fora do cilindro ( ):
A carga total dentro do cilindro é:
Então, para .

Passo 4

Parte c) Agora, vamos calcular o vetor deslocamento elétrico D = epsilon0 ( -k repsilon0 ) r + k r r = -k r r + k r r = 0 .
Dentro do cilindro ( D = epsilon0 cdot 0 + 0 = 0 ):
Usando :
Fora do cilindro ( ):
Sabemos que e (pois a polarização é nula fora):

Resposta

a) e
b) para e para
c) tanto para quanto para

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