Uma casca cilindrica longa, de material não condutor, de raio =2 m, estando seu eixo coincidente com o eixo z., tendo sua superfícielateral uma distribuição de carga de valor rhos=4 nC / m^2. Uma linha infinita de carga com rhoL= 10 nC / m está localizada sobre o eixo z. Determine o campo elétrico no ponto ( r=4, phi=90^circ, z=0 ), usando a lei de gauss.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma casca cilíndrica longa, não condutora, com raio de 2 metros e uma distribuição de carga na superfície lateral de . Além disso, tem uma linha infinita de carga com densidade linear no eixo . O objetivo é determinar o campo elétrico no ponto usando a Lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para simetria cilíndrica e considerar as contribuições das cargas na casca e na linha de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema. A casca cilíndrica tem raio 2 m e está centrada no eixo . A linha de carga está exatamente no eixo . O ponto onde queremos encontrar o campo elétrico está a 4 metros do eixo, no plano e em .

Passo 3

Vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico PhiE = oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo :

Passo 4

Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Como temos simetria cilíndrica, vamos escolher um cilindro coaxial com o eixo , com raio e comprimento suficientemente grande.

Passo 5

Vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Temos duas contribuições:
  1. A linha de carga no eixo com densidade linear .
  2. A casca cilíndrica com densidade superficial e raio 2 m.
Como nosso cilindro gaussiano tem raio 4 m, que é maior que o raio da casca (2 m), a carga na casca está dentro da superfície gaussiana.

Passo 6

Vamos calcular a carga da casca:
A área lateral da casca é Qcasca = rhos cdot A = rhos cdot 2pi r h = 4 times 10^-9 , C/m^2 times 2pi times 2 , m times h = 16pi times 10^-9 h , C , onde e é a altura do cilindro gaussiano. A carga na casca é:

Passo 7

Agora, a carga da linha de carga dentro do cilindro gaussiano é:
Qlinha = rhoL cdot h = 10 times 10^-9 , C/m times h = 10 times 10^-9 h , C

Passo 8

A carga total dentro da superfície gaussiana é:
Qtotal = Qcasca + Qlinha = (16pi times 10^-9 h) + (10 times 10^-9 h) = (16pi + 10) times 10^-9 h , C

Passo 9

Aplicando a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot Acilindro = E cdot 2pi r h = Qtotalvarepsilon0
Resolvendo para E = Qtotal2pi r h varepsilon0 = (16pi + 10) times 10^-9 h2pi times 4 times h times 8.85 times 10^-12 = (16pi + 10) times 10^-98pi times 8.85 times 10^-12 :

Passo 10

Calculando os valores numéricos:
E = (50.2655 + 10) times 10^-98 times 3.1416 times 8.85 times 10^-12 approx 60.2655 times 10^-9222.519 times 10^-12 approx 270.6 , kV/m

Resposta

O campo elétrico no ponto é aproximadamente na direção radial.

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