Uma casca cilindrica longa, de material não condutor, de raio
, estando seu eixo coincidente com o eixo
., tendo sua superfícielateral uma distribuição de carga de valor
. Uma linha infinita de carga com
está localizada sobre o eixo
. Determine o campo elétrico no ponto (
), usando a lei de gauss.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma casca cilíndrica longa, não condutora, com raio de 2 metros e uma distribuição de carga na superfície lateral de
. Além disso, tem uma linha infinita de carga com densidade linear
no eixo
. O objetivo é determinar o campo elétrico no ponto
usando a Lei de Gauss. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para simetria cilíndrica e considerar as contribuições das cargas na casca e na linha de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sistema. A casca cilíndrica tem raio 2 m e está centrada no eixo
. A linha de carga está exatamente no eixo
. O ponto onde queremos encontrar o campo elétrico está a 4 metros do eixo, no plano
e em
.
Passo 3
Vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo
:
Passo 4
Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos escolher uma superfície gaussiana apropriada. Como temos simetria cilíndrica, vamos escolher um cilindro coaxial com o eixo
, com raio
e comprimento suficientemente grande.
Passo 5
Vamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Temos duas contribuições:
- A linha de carga no eixo
com densidade linear . - A casca cilíndrica com densidade superficial
e raio 2 m.
Como nosso cilindro gaussiano tem raio 4 m, que é maior que o raio da casca (2 m), a carga na casca está dentro da superfície gaussiana.
Passo 6
Vamos calcular a carga da casca:
A área lateral da casca é
, onde
e
é a altura do cilindro gaussiano. A carga na casca é:
Passo 7
Agora, a carga da linha de carga dentro do cilindro gaussiano é:
Passo 8
A carga total dentro da superfície gaussiana é:
Passo 9
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 10
Calculando os valores numéricos:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é aproximadamente
na direção radial.
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