Uma casca esférica com condutividade térmica k tem diâmetros interno e externo
e
, respectivamente. A superfície interna da casca é sujeita a um fluxo de calor
, enquanto a superfície externa é exposta a transferência de calor por convecção, com coeficiente h e temperatura ambiente
. Determine a variação da temperatura na parede da casca.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma casca esférica com condutividade térmica
, diâmetros internos e externos
e
. A parte interna está recebendo um fluxo de calor
e a parte externa está perdendo calor por convecção para o ambiente, que tem temperatura
e coeficiente de convecção
. Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura varia dentro da parede dessa casca. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e transferência de calor por convecção.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a condução de calor funciona em uma geometria esférica. A equação geral para condução de calor em regime permanente (ou seja, sem variação de temperatura no tempo) em coordenadas esféricas, sem geração de calor interna, é dada por:
Isso simplifica para:
Passo 3
Integrando essa equação uma vez, obtemos:
Aqui,
é uma constante de integração que vamos determinar mais tarde usando as condições de contorno.
Passo 4
Agora, isolamos
:
Integrando novamente, encontramos a solução geral para a temperatura:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Vamos agora aplicar as condições de contorno para determinar
e
. A primeira condição é na superfície interna (
), onde o fluxo de calor é
. O fluxo de calor por condução é dado por:
Então, na superfície interna:
Isso nos dá:
Passo 6
A segunda condição de contorno está na superfície externa (
), onde a transferência de calor é por convecção. A condição de convecção é dada por:
Substituindo
da solução geral:
Passo 7
Vamos substituir
que encontramos no Passo 5:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando um pouco mais:
Passo 9
Com
e
determinados, podemos escrever a expressão final para a temperatura dentro da parede da casca:
Resposta
A variação da temperatura na parede da casca esférica é dada por: