Uma casca esférica com condutividade térmica k tem diâmetros interno e externo e , respectivamente. A superfície interna da casca é sujeita a um fluxo de calor , enquanto a superfície externa é exposta a transferência de calor por convecção, com coeficiente h e temperatura ambiente . Determine a variação da temperatura na parede da casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma casca esférica com condutividade térmica , diâmetros internos e externos e . A parte interna está recebendo um fluxo de calor e a parte externa está perdendo calor por convecção para o ambiente, que tem temperatura e coeficiente de convecção . Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura varia dentro da parede dessa casca. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a condução de calor funciona em uma geometria esférica. A equação geral para condução de calor em regime permanente (ou seja, sem variação de temperatura no tempo) em coordenadas esféricas, sem geração de calor interna, é dada por:
Isso simplifica para:

Passo 3

Integrando essa equação uma vez, obtemos:
Aqui, é uma constante de integração que vamos determinar mais tarde usando as condições de contorno.

Passo 4

Agora, isolamos :
Integrando novamente, encontramos a solução geral para a temperatura:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições de contorno para determinar e . A primeira condição é na superfície interna ( ), onde o fluxo de calor é . O fluxo de calor por condução é dado por:
Então, na superfície interna:
Isso nos dá:

Passo 6

A segunda condição de contorno está na superfície externa ( ), onde a transferência de calor é por convecção. A condição de convecção é dada por:
Substituindo da solução geral:

Passo 7

Vamos substituir que encontramos no Passo 5:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos resolver para :
Simplificando um pouco mais:

Passo 9

Com e determinados, podemos escrever a expressão final para a temperatura dentro da parede da casca:

Resposta

A variação da temperatura na parede da casca esférica é dada por:

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