Uma casca esférica com condutividade térmica k tem diâmetros interno e externo r1 e r2, respectivamente. A superfície interna da casca é sujeita a um fluxo de calor dotq1, enquanto a superfície externa é exposta a transferência de calor por convecção, com coeficiente h e temperatura ambiente Tinfty. Determine a variação da temperatura na parede da casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma casca esférica com condutividade térmica , diâmetros internos e externos e . A parte interna está recebendo um fluxo de calor e a parte externa está perdendo calor por convecção para o ambiente, que tem temperatura e coeficiente de convecção . Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura varia dentro da parede dessa casca. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a condução de calor funciona em uma geometria esférica. A equação geral para condução de calor em regime permanente (ou seja, sem variação de temperatura no tempo) em coordenadas esféricas, sem geração de calor interna, é dada por:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Isso simplifica para:
ddr ( r^2 dTdr ) = 0

Passo 3

Integrando essa equação uma vez, obtemos:
r^2 dTdr = C1
Aqui, é uma constante de integração que vamos determinar mais tarde usando as condições de contorno.

Passo 4

Agora, isolamos dTdr = C1r^2 :
T(r) = -C1r + C2
Integrando novamente, encontramos a solução geral para a temperatura:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Vamos agora aplicar as condições de contorno para determinar dotq = -k dTdr e dotq1 = -k ( C1r1^2 ) . A primeira condição é na superfície interna ( C1 = -dotq1 r1^2k ), onde o fluxo de calor é . O fluxo de calor por condução é dado por:
Então, na superfície interna:
Isso nos dá:

Passo 6

A segunda condição de contorno está na superfície externa ( -k dTdr = h (T(r2) - Tinfty) ), onde a transferência de calor é por convecção. A condição de convecção é dada por:
-k ( C1r2^2 ) = h ( -C1r2 + C2 - Tinfty )
Substituindo da solução geral:

Passo 7

Vamos substituir -k ( -dotq1 r1^2k r2^2 ) = h ( dotq1 r1^2k r2 + C2 - Tinfty ) que encontramos no Passo 5:
dotq1 r1^2r2^2 = h ( dotq1 r1^2k r2 + C2 - Tinfty )
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos resolver para C2 = dotq1 r1^2h r2^2 - dotq1 r1^2k r2 + Tinfty :
C2 = dotq1 r1^2r2 ( 1h r2 - 1k ) + Tinfty
Simplificando um pouco mais:

Passo 9

Com T(r) = dotq1 r1^2k r + dotq1 r1^2h r2^2 ( 1 - r2k h ) + Tinfty e determinados, podemos escrever a expressão final para a temperatura dentro da parede da casca:

Resposta

A variação da temperatura na parede da casca esférica é dada por:
T(r) = dotq1 r1^2k r + dotq1 r1^2h r2^2 ( 1 - r2k h ) + Tinfty

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