Nas fábricas de processamento de metais, os trabalhadores geralmente operam perto de superfícies metálicas quentes. Superfícies quentes expostas são perigosas pois podem potencialmente causar queimaduras na pele humana. Superfícies metálicas acima de
são consideradas extremamente quentes e danos à pele podem ocorrer instantaneamente em contato com superfícies nessa temperatura. Em uma planta que processa placas de metal, uma placa sendo transportada é resfriada por uma série de ventiladores, em um ambiente com temperatura de
. A placa tem 25 mm de espessura e tem uma condutividade térmica de
. A temperatura na superfície inferior da placa é monitorada por um termômetro infravermelho (IR), que mede
. Obtenha uma expressão para a variação de temperatura na placa de metal.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. Estamos falando de uma placa de metal que está sendo resfriada em uma fábrica, onde a temperatura ambiente é de
. A placa tem 25 mm de espessura e uma condutividade térmica de
. A temperatura na superfície inferior da placa está sendo medida em
. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que descreva como a temperatura varia ao longo da espessura da placa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor na física, mais especificamente a Lei de Fourier para condução térmica em regime estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a condução de calor. A condução de calor é a transferência de energia térmica dentro de um material devido à diferença de temperatura. A Lei de Fourier nos dá uma maneira de calcular essa transferência em condições estacionárias (quando as temperaturas não mudam com o tempo).
A fórmula da Lei de Fourier para condução unidimensional é:
Onde:
-
é o fluxo de calor por unidade de área ( ), -
é a condutividade térmica do material ( ), -
é o gradiente de temperatura ao longo da direção .
Passo 3
Como estamos lidando com uma placa de espessura
e assumindo que o fluxo de calor é constante através da placa, podemos simplificar a expressão para um gradiente de temperatura linear. Isso significa que a temperatura varia de forma linear de uma face à outra da placa.
Podemos reorganizar a equação da Lei de Fourier para encontrar a variação de temperatura:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Sabemos as temperaturas nas duas faces da placa:
e
. A diferença de temperatura é:
Sabendo que
, podemos substituir na equação:
Passo 5
Resolvendo para
:
O sinal negativo indica que o fluxo de calor está indo da superfície inferior para a superior, o que faz sentido, pois o calor está sendo transferido da região mais quente para a mais fria.
Passo 6
Agora, para encontrar a expressão da variação de temperatura
ao longo da espessura da placa, podemos integrar novamente a equação diferencial:
Integrando:
Onde
é a constante de integração. Sabemos que em
(superfície superior),
:
Resposta
A variação de temperatura na placa de metal é dada por:
Onde
está em graus Celsius e
é a posição ao longo da espessura da placa em metros.