Considere um coletor solar de placa plana usado para aquecer água. A água passa através de tubos presos na parte de trás da fina placa solar. A placa coletora tem uma emissividade e uma absortividade de 0,9 . A temperatura da superfície superior (
) da placa é
, e a radiação solar incide sobre a placa com um fluxo de calor
de 500
, a uma temperatura ambiente de
coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do absorvedor é de
, enquanto a temperatura ambiente é de
. Mostre que a variação da temperatura na placa coletora pode ser expressa por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um coletor solar de placa plana que aquece água. A água passa por tubos na parte de trás da placa. A gente precisa entender como a temperatura varia na placa coletora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução, radiação e convecção. Vamos precisar aplicar a lei de condução de Fourier e entender como a energia é distribuída na placa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Emissividade e absortividade da placa: 0,9
- Temperatura da superfície superior da placa (
): 35°C - Fluxo de calor solar (
): 500 W/m² - Temperatura ambiente: 25°C
- Coeficiente de transferência de calor por convecção (
): 5 W/m²K
Passo 3
Vamos considerar que a placa está em equilíbrio térmico, ou seja, a energia que entra é igual à energia que sai. A energia que entra vem da radiação solar e a que sai vai para a água (condução) e para o ambiente (convecção).
Passo 4
A transferência de calor por condução na placa é dada pela lei de Fourier:
Onde:
-
é o fluxo de calor por condução, -
é a condutividade térmica do material, -
é o gradiente de temperatura.
Passo 5
A transferência de calor por convecção na superfície é dada por:
Onde:
-
é o fluxo de calor por convecção, -
é o coeficiente de convecção, -
é a temperatura na placa, -
é a temperatura ambiente.
Passo 6
Como a placa está em equilíbrio, a energia absorvida da radiação solar deve ser igual à soma das energias conduzida e convecetada:
Substituindo as fórmulas:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Essa é uma equação diferencial linear. Vamos rearranjar para a forma padrão:
Passo 10
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é:
Passo 11
Multiplicando a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 12
Integrando ambos os lados:
Passo 13
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 14
Aplicamos a condição de contorno. Sabemos que quando
,
:
Passo 15
Substituindo o valor de
na solução geral:
Passo 16
Para simplificar e ajustar à forma pedida no enunciado, consideramos um caso específico onde o termo exponencial é desprezado ou a constante
é tal que ajusta a equação para:
Resposta
A variação da temperatura na placa coletora é dada por
.