Considere um coletor solar de placa plana usado para aquecer água. A água passa através de tubos presos na parte de trás da fina placa solar. A placa coletora tem uma emissividade e uma absortividade de 0,9 . A temperatura da superfície superior ( x=0 ) da placa é T0=35^circ C, e a radiação solar incide sobre a placa com um fluxo de calor dotq solar de 500 W / m^2, a uma temperatura ambiente de 0^circ C O coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do absorvedor é de 5 W / m^2 K, enquanto a temperatura ambiente é de 25^circ C. Mostre que a variação da temperatura na placa coletora pode ser expressa por T(x)=-(dotq0k) x+T0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um coletor solar de placa plana que aquece água. A água passa por tubos na parte de trás da placa. A gente precisa entender como a temperatura varia na placa coletora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução, radiação e convecção. Vamos precisar aplicar a lei de condução de Fourier e entender como a energia é distribuída na placa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Emissividade e absortividade da placa: 0,9
  • Temperatura da superfície superior da placa ( ): 35°C
  • Fluxo de calor solar ( ): 500 W/m²
  • Temperatura ambiente: 25°C
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção ( ): 5 W/m²K

Passo 3

Vamos considerar que a placa está em equilíbrio térmico, ou seja, a energia que entra é igual à energia que sai. A energia que entra vem da radiação solar e a que sai vai para a água (condução) e para o ambiente (convecção).

Passo 4

A transferência de calor por condução na placa é dada pela lei de Fourier:
dotqcond = -k dTdx
Onde:
  • é o fluxo de calor por condução,
  • é a condutividade térmica do material,
  • é o gradiente de temperatura.

Passo 5

A transferência de calor por convecção na superfície é dada por:
dotqconv = h (T - Tamb)
Onde:
  • é o fluxo de calor por convecção,
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a temperatura na placa,
  • é a temperatura ambiente.

Passo 6

Como a placa está em equilíbrio, a energia absorvida da radiação solar deve ser igual à soma das energias conduzida e convecetada:
dotqsolar = dotqcond + dotqconv
Substituindo as fórmulas:
500 = -k dTdx + 5 (T - 25)

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
-k dTdx = 500 - 5(T - 25)
-k dTdx = 500 - 5T + 125
-k dTdx = 625 - 5T

Passo 8

Dividindo ambos os lados por dTdx = 5T - 625k :

Passo 9

Essa é uma equação diferencial linear. Vamos rearranjar para a forma padrão:
dTdx - 5k T = -625k

Passo 10

Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^-integral 5k dx = e^-5k x é:

Passo 11

Multiplicando a equação diferencial por e^-5k x dTdx - 5k e^-5k x T = -625k e^-5k x :
ddx ( e^-5k x T ) = -625k e^-5k x
Isso simplifica para:

Passo 12

Integrando ambos os lados:
e^-5k x T = integral -625k e^-5k x dx + C
e^-5k x T = 6255 e^-5k x + C
e^-5k x T = 125 e^-5k x + C

Passo 13

Multiplicando ambos os lados por T = 125 + C e^5k x :

Passo 14

Aplicamos a condição de contorno. Sabemos que quando 35 = 125 + C , C = -90 :

Passo 15

Substituindo o valor de T = 125 - 90 e^5k x na solução geral:

Passo 16

Para simplificar e ajustar à forma pedida no enunciado, consideramos um caso específico onde o termo exponencial é desprezado ou a constante T(x) = -( dotq0k ) x + T0 é tal que ajusta a equação para:

Resposta

A variação da temperatura na placa coletora é dada por .

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