Uma casca esférica com condutividade térmica k tem diâmetros interno e externo r1 e r2, respectivamente. A superfície interna da casca é sujeita a um fluxo de calor dotq1, enquanto a superfície externa é exposta a transferência de calor por convecção, com coeficiente h e temperatura ambiente Tinfty. Mostre que a temperatura da superfície externa pode ser expressa como: T(r2)=(dotq1h)(r1r2)^2+Tinfty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transferência de calor numa casca esférica que tem duas partes: a interna com raio r1 e a externa com raio r2. A gente precisa encontrar a temperatura na superfície externa dessa casca, considerando que o calor entra pela parte interna e sai pela externa por convecção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução térmica e convecção, além de algumas fórmulas de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na condução de calor dentro da casca esférica. A condução térmica é o processo de transferência de calor através de um material sem que haja movimentação do próprio material. A fórmula que descreve isso para uma esfera é baseada na Lei de Fourier. Para uma esfera, a taxa de transferência de calor dotq é dada por:
dotq = -k cdot 4pi r^2 cdot dTdr
Aqui, k é a condutividade térmica, r é o raio da esfera, e dTdr é a variação da temperatura em relação ao raio.

Passo 3

Agora, vamos considerar a convecção na superfície externa. A convecção é a transferência de calor entre uma superfície e um fluido (como o ar) que está em movimento. A taxa de transferência de calor por convecção é dada pela Lei de Resfriamento de Newton:
dotqconv = h cdot 4pi r2^2 cdot (T(r2) - Tinfty)
Aqui, h é o coeficiente de convecção, T(r2) é a temperatura na superfície externa, e Tinfty é a temperatura ambiente.

Passo 4

Como não estamos criando nem destruindo calor, a quantidade de calor que entra pela superfície interna deve igualar a quantidade que sai pela externa. Assim, igualamos as duas expressões de dotq:
dotq14pi = k cdot r cdot T(r2) - Tinftyr2^2
Resolvendo essa equação para T(r2), temos:
T(r2) = (dotq1h) (r1r2)^2 + Tinfty

Resposta

A temperatura na superfície externa da casca esférica é:
T(r2)=(dotq1h)(r1r2)^2+Tinfty

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