Considere dois cilindros concêntricos, giratórios, com 0,2 m de altura ( L ). O cilindro interno tem diâmetro de 2,0 cm, enquanto o externo tem diâmetro de 4,0 cm. A distribuição de velocidade, na região anular, em m / s, é dada por u(r)= Ar-B r, em que A é constante e vale 0,4 m^2 s^-1 e B tem o valor de 1000 s^-1. (a) Obtenha uma expressão para avaliação da viscosidade do fluido, admitindo que o torque ( T ) aplicado no cilindro interno seja conhecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois cilindros concêntricos que giram, com uma certa altura. A gente precisa encontrar uma expressão para a viscosidade do fluido que está entre esses cilindros, sabendo que o torque aplicado no cilindro interno é conhecido. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade do fluido varia com a distância do centro (usando a equação dada) e relacionar isso com o torque e a viscosidade através das leis da mecânica dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de velocidade que nos foi dada:
u(r) = Ar - B r
onde e . Essa equação descreve como a velocidade do fluido muda conforme a distância do centro dos cilindros.

Passo 3

A viscosidade dudr = -Ar^2 - B está relacionada com o esforço de cisalhamento no fluido, que depende da derivada da velocidade em relação a . Vamos calcular essa derivada:
Essa derivada nos dá a taxa de variação da velocidade em cada ponto do fluido, que é essencial para encontrar o esforço de cisalhamento.

Passo 4

O esforço de cisalhamento tau = mu dudr é dado por:
tau = mu ( -Ar^2 - B )
Substituindo a derivada que encontramos:
Esse esforço é o que está causando o torque no cilindro interno.

Passo 5

Para encontrar o torque total T = 2pi L integralRi^Ro tau r^2 dr aplicado no cilindro interno, precisamos integrar o esforço de cisalhamento sobre a superfície do cilindro. A expressão para o torque é:
onde e são os raios dos cilindros interno e externo, respectivamente, e é a altura.

Passo 6

Substituindo T = 2pi L mu integralRi^Ro ( -Ar^2 - B ) r^2 dr na expressão do torque:
T = 2pi L mu integral0,01^0,02 (-A - B r^2) dr
Simplificando dentro da integral:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral0,01^0,02 (-A - B r^2) dr = -A (r) |0,01^0,02 - B ( r^33 ) |0,01^0,02
Calculando:
= -A (0,02 - 0,01) - B3 (0,02^3 - 0,01^3)
= -A (0,01) - B3 (8 times 10^-6 - 1 times 10^-6)
= -0,01A - 7 times 10^-6 B3

Passo 8

Substituindo os valores de = -0,01 times 0,4 - 7 times 10^-6 times 10003 e = -0,004 - 0,0073 :
= -0,004 - 0,002333
= -0,006333 , m^3/s

Passo 9

Agora, substituindo de volta na expressão do torque:
T = 2pi times 0,2 times mu times (-0,006333)
Como torque é uma grandeza positiva, vamos considerar os valores absolutos:
T = 2pi times 0,2 times mu times 0,006333
T = 0,8pi mu times 0,006333
T approx 0,0159 mu

Resposta

A viscosidade do fluido é dada por:
mu = T0,0159
Ou simplificando,
mu = T0,0159 , Pa cdot s

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