Considere dois cilindros concêntricos, giratórios, com de altura ( L ). O cilindro interno tem diâmetro de 2,0 cm, enquanto o externo tem diâmetro de . A distribuição de velocidade, na região anular, em , é dada por , em que A é constante e vale e B tem o valor de . (a) Obtenha uma expressão para avaliação da viscosidade do fluido, admitindo que o torque ( T ) aplicado no cilindro interno seja conhecido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois cilindros concêntricos que giram, com uma certa altura. A gente precisa encontrar uma expressão para a viscosidade do fluido que está entre esses cilindros, sabendo que o torque aplicado no cilindro interno é conhecido. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade do fluido varia com a distância do centro (usando a equação dada) e relacionar isso com o torque e a viscosidade através das leis da mecânica dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de velocidade que nos foi dada:
onde e . Essa equação descreve como a velocidade do fluido muda conforme a distância do centro dos cilindros.
Passo 3
A viscosidade está relacionada com o esforço de cisalhamento no fluido, que depende da derivada da velocidade em relação a . Vamos calcular essa derivada:
Essa derivada nos dá a taxa de variação da velocidade em cada ponto do fluido, que é essencial para encontrar o esforço de cisalhamento.
Passo 4
O esforço de cisalhamento é dado por:
Substituindo a derivada que encontramos:
Esse esforço é o que está causando o torque no cilindro interno.
Passo 5
Para encontrar o torque total aplicado no cilindro interno, precisamos integrar o esforço de cisalhamento sobre a superfície do cilindro. A expressão para o torque é:
onde e são os raios dos cilindros interno e externo, respectivamente, e é a altura.
Passo 6
Substituindo na expressão do torque:
Simplificando dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
Calculando:
Passo 8
Substituindo os valores de e :
Passo 9
Agora, substituindo de volta na expressão do torque:
Como torque é uma grandeza positiva, vamos considerar os valores absolutos: