Uma casca esférica condutora de raio interno
e raio externo
é concêntrica com uma pequena esfera metálica de raio
. A esfera metálica apresenta carga positiva
. A carga total na casca esférica condutora é
. Qual é o potencial elétrico devido a este sistema nas regiões (a)
, (b)
, ©
, e (d)
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Eletrostática envolvendo potenciais elétricos em diferentes regiões ao redor de uma configuração com uma esfera metálica e uma casca condutora. O que precisamos é calcular o potencial elétrico em quatro regiões distintas: dentro da pequena esfera, entre a pequena esfera e a casca, dentro da própria casca e fora de toda a estrutura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos e potenciais em distribuições esféricas de carga, além das propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de cargas no sistema. Temos uma pequena esfera metálica de raio
com carga positiva
, e uma casca esférica condutora concêntrica com raio interno
e raio externo
que tem uma carga total de
.
Quando colocamos uma carga
no centro de uma casca condutora, a casca responderá por indução eletrostática: uma carga oposta
será induzida na superfície interna da casca (a superfície de raio
), e a carga restante será distribuída na superfície externa (a superfície de raio
). Como a carga total da casca é
, e já temos
na superfície interna, não sobra carga para a superfície externa. Ou seja, a superfície externa não tem carga.
Passo 3
Agora, vamos calcular o potencial elétrico nas diferentes regiões:
(a) Para
:
Dentro da pequena esfera metálica, o campo elétrico é zero porque é um condutor em equilíbrio. Isso significa que o potencial é constante e igual ao potencial na superfície da esfera.
O potencial na superfície da esfera de raio
com carga
é dado por:
Portanto, em
, o potencial é:
(b) Para
:
Nesta região, estamos entre a pequena esfera carregada e a casca condutora. O campo elétrico aqui é devido apenas à carga
no centro, já que a carga induzida na superfície interna da casca cancela qualquer contribuição da casca.
O potencial neste caso é a soma do potencial devido à carga
no centro:
© Para
:
Dentro da casca condutora, o campo elétrico é zero porque é um condutor em equilíbrio eletrostático. Isso implica que o potencial é constante nessa região. Para encontrar o valor desse potencial, usamos o potencial na superfície interna da casca (em
).
O potencial em
é:
Portanto, em
:
(d) Para
:
Fora da casca condutora, o campo elétrico é determinado pela soma das cargas presentes. Temos uma carga
no centro e a casca com carga total
. A soma dessas cargas é
, o que significa que o campo elétrico fora do sistema é zero.
Consequentemente, o potencial para
também é constante. Como não há campo elétrico, o potencial pode ser considerado igual ao potencial na superfície externa da casca.
O potencial na superfície externa (
) é:
Portanto, em
:
Resposta
Os potenciais elétricos nas diferentes regiões são:
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
:
d) Para
:
Exercícios relacionados
(4 pontos) Qual a energia
necessária para montar tal distribuição de cargas? Qual o significado físico do sinal de sua resposta?
(4 pontos) Determine o campo elétrico ao longo do eixo
na região
. Justifique sua resposta.
Espelhos esféricos. Um objeto
está sobre o eixo central de um espelho esférico. Determine a ampliação lateral
.
Deduza uma expressão semelhante para o trabalho
, quando a temperatura de um sal paramagnético varia de
e a intensidade magnética aplicada varia de
.