Uma casca esférica condutora de raio interno b e raio externo c é concêntrica com uma pequena esfera metálica de raio a. A esfera metálica apresenta carga positiva Q. A carga total na casca esférica condutora é -Q. Qual é o potencial elétrico devido a este sistema nas regiões (a) r, (b) a, © b, e (d) r>c ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Eletrostática envolvendo potenciais elétricos em diferentes regiões ao redor de uma configuração com uma esfera metálica e uma casca condutora. O que precisamos é calcular o potencial elétrico em quatro regiões distintas: dentro da pequena esfera, entre a pequena esfera e a casca, dentro da própria casca e fora de toda a estrutura. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos elétricos e potenciais em distribuições esféricas de carga, além das propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de cargas no sistema. Temos uma pequena esfera metálica de raio com carga positiva , e uma casca esférica condutora concêntrica com raio interno e raio externo que tem uma carga total de .
Quando colocamos uma carga no centro de uma casca condutora, a casca responderá por indução eletrostática: uma carga oposta será induzida na superfície interna da casca (a superfície de raio ), e a carga restante será distribuída na superfície externa (a superfície de raio ). Como a carga total da casca é , e já temos na superfície interna, não sobra carga para a superfície externa. Ou seja, a superfície externa não tem carga.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico nas diferentes regiões:
(a) Para V = 14pivarepsilon0 cdot Qa :
Dentro da pequena esfera metálica, o campo elétrico é zero porque é um condutor em equilíbrio. Isso significa que o potencial é constante e igual ao potencial na superfície da esfera.
O potencial na superfície da esfera de raio V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qa com carga V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr é dado por:
V(b) = 14pivarepsilon0 cdot Qb
Portanto, em V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qb , o potencial é:
V(c) = 14pivarepsilon0 cdot Qb
(b) Para V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qb :
Nesta região, estamos entre a pequena esfera carregada e a casca condutora. O campo elétrico aqui é devido apenas à carga no centro, já que a carga induzida na superfície interna da casca cancela qualquer contribuição da casca.
O potencial neste caso é a soma do potencial devido à carga no centro:
© Para :
Dentro da casca condutora, o campo elétrico é zero porque é um condutor em equilíbrio eletrostático. Isso implica que o potencial é constante nessa região. Para encontrar o valor desse potencial, usamos o potencial na superfície interna da casca (em ).
O potencial em é:
Portanto, em :
(d) Para :
Fora da casca condutora, o campo elétrico é determinado pela soma das cargas presentes. Temos uma carga no centro e a casca com carga total . A soma dessas cargas é , o que significa que o campo elétrico fora do sistema é zero.
Consequentemente, o potencial para também é constante. Como não há campo elétrico, o potencial pode ser considerado igual ao potencial na superfície externa da casca.
O potencial na superfície externa ( ) é:
Portanto, em :

Resposta

Os potenciais elétricos nas diferentes regiões são:
a) Para V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qa :
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qr
b) Para V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qb :
V(r) = 14pivarepsilon0 cdot Qb
c) Para :
d) Para :

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