Uma casca esférica fina de prata (alphap r a t a=19 times 10^-6 ^circ C^-1) possui um diâmetro interno de 2,0 times 10^-2 m quando a temperatura é de 18^circ C. A casca é aquecida até 147^circ C. Determine a variação do volume interno da casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica fina de prata que tem um diâmetro interno de 2,0 times 10^-2 metros a 18^circ C. Quando a temperatura sobe para 147^circ C, queremos saber quanto o volume interno dessa casca muda. Vamos usar a matéria de dilatação térmica, especificamente a expansão volumétrica, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a temperatura afeta as dimensões da casca. A prata, como muitos materiais, se expande quando aquece. A taxa de expansão linear da prata é dada por alphaprata = 19 times 10^-6 , ^circC^-1. Como estamos lidando com volume, vamos usar a relação entre a expansão linear e a expansão volumétrica.

Passo 3

A expansão volumétrica beta para sólidos isotrópicos (que se expandem igualmente em todas as direções) é aproximadamente três vezes a expansão linear. Então:
beta = 3 alphaprata = 3 times 19 times 10^-6 , ^circC^-1 = 57 times 10^-6 , ^circC^-1

Passo 4

Agora, vamos calcular a variação de temperatura De:
De

Passo 5

A variação no volume De pode ser calculada usando a fórmula da expansão volumétrica:
De
Precisamos primeiro encontrar o volume inicial Vinicial da casca.

Passo 6

O volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
O diâmetro interno é 2,0 times 10^-2 m, então o raio interno r é metade disso:
r = 2,0 times 10^-2 , m2 = 1,0 times 10^-2 , m
Então,
Vinicial = 43 pi (1,0 times 10^-2 , m)^3 = 43 pi times 1,0 times 10^-6 , m^3 approx 4,19 times 10^-6 , m^3

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula da variação de volume:
De
De

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplica 4,19e-6 por 57e-6:
4,19 times 10^-6 times 57 times 10^-6 = 2,391 times 10^-10
  1. Multiplica esse resultado por 129:
2,391 times 10^-10 times 129 approx 3,085 times 10^-8 , m^3

Resposta

A variação do volume interno da casca é de aproximadamente 3,09 times 10^-8 , m^3.

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