Uma casca esférica fina de raio
possui uma total carga
uniformemente distribuída na sua superfície. Uma segunda casca esférica fina de raio
é concêntrica com a primeira casca e possui carga
que é distribuída uniformemente na sua superfície. (a) Use o lei de Gauss para encontrar o campo elétrico nas regiões
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico em cascas esféricas usando a Lei de Gauss. Basicamente, temos duas cascas concêntricas: a primeira com raio
e carga total
, e a segunda com raio
(
) e carga total
. A gente precisa encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: dentro da primeira casca (
), entre as duas cascas (
), e fora das duas cascas (
). Vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região onde
, ou seja, dentro da primeira casca esférica. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dela dividida pelo permissividade do vácuo (
):
Neste caso, dentro da casca esférica, não há carga dentro da superfície gaussiana (
) porque toda a carga
está na superfície da casca. Portanto, o fluxo elétrico é zero, o que significa que o campo elétrico também é zero nessa região.
Passo 3
Agora, vamos para a região entre as duas cascas, onde
. Aqui, a superfície gaussiana esférica de raio
envolve apenas a primeira casca, já que a segunda casca está fora dessa região. A carga interna à superfície gaussiana é apenas
. Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é radial e tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos simplificar:
Então, o campo elétrico nessa região depende da carga
e diminui com o quadrado da distância
.
Passo 4
Por último, vamos considerar a região fora das duas cascas, onde
. Nessa situação, a superfície gaussiana engloba ambas as cascas, então a carga total interna é
. Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Simplificando da mesma forma que antes:
Portanto, fora das duas cascas, o campo elétrico depende da soma das cargas
e
e também diminui com o quadrado da distância
.
Resposta
O campo elétrico
nas diferentes regiões é dado por: