Uma casca esférica fina de raio RI possui uma total carga qI uniformemente distribuída na sua superfície. Uma segunda casca esférica fina de raio R2,(R2>Rl) é concêntrica com a primeira casca e possui carga q2 que é distribuída uniformemente na sua superfície. (a) Use o lei de Gauss para encontrar o campo elétrico nas regiões r, e r>R2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico em cascas esféricas usando a Lei de Gauss. Basicamente, temos duas cascas concêntricas: a primeira com raio e carga total , e a segunda com raio ( ) e carga total . A gente precisa encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: dentro da primeira casca ( ), entre as duas cascas ( ), e fora das duas cascas ( ). Vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região onde Phi = oint E cdot dA = Qinternaepsilon0 , ou seja, dentro da primeira casca esférica. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dela dividida pelo permissividade do vácuo ( ):
Neste caso, dentro da casca esférica, não há carga dentro da superfície gaussiana ( ) porque toda a carga está na superfície da casca. Portanto, o fluxo elétrico é zero, o que significa que o campo elétrico também é zero nessa região.

Passo 3

Agora, vamos para a região entre as duas cascas, onde oint E cdot dA = q1epsilon0 . Aqui, a superfície gaussiana esférica de raio E cdot 4pi r^2 = q1epsilon0 implies E = q14pi epsilon0 r^2 envolve apenas a primeira casca, já que a segunda casca está fora dessa região. A carga interna à superfície gaussiana é apenas . Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é radial e tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos simplificar:
Então, o campo elétrico nessa região depende da carga e diminui com o quadrado da distância .

Passo 4

Por último, vamos considerar a região fora das duas cascas, onde oint E cdot dA = q1 + q2epsilon0 . Nessa situação, a superfície gaussiana engloba ambas as cascas, então a carga total interna é E cdot 4pi r^2 = q1 + q2epsilon0 implies E = q1 + q24pi epsilon0 r^2 . Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Simplificando da mesma forma que antes:
Portanto, fora das duas cascas, o campo elétrico depende da soma das cargas e e também diminui com o quadrado da distância .

Resposta

O campo elétrico E(r) = 0, & para r < R1 q14pi epsilon0 r^2, & para R1 < r < R2 q1 + q24pi epsilon0 r^2, & para r > R2 nas diferentes regiões é dado por:

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