Uma casca esférica fina de raio possui uma total carga uniformemente distribuída na sua superfície. Uma segunda casca esférica fina de raio é concêntrica com a primeira casca e possui carga que é distribuída uniformemente na sua superfície. (a) Use o lei de Gauss para encontrar o campo elétrico nas regiões , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico em cascas esféricas usando a Lei de Gauss. Basicamente, temos duas cascas concêntricas: a primeira com raio e carga total , e a segunda com raio () e carga total . A gente precisa encontrar o campo elétrico em três regiões diferentes: dentro da primeira casca (), entre as duas cascas (), e fora das duas cascas (). Vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região onde , ou seja, dentro da primeira casca esférica. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dela dividida pelo permissividade do vácuo ():
Neste caso, dentro da casca esférica, não há carga dentro da superfície gaussiana () porque toda a carga está na superfície da casca. Portanto, o fluxo elétrico é zero, o que significa que o campo elétrico também é zero nessa região.
Passo 3
Agora, vamos para a região entre as duas cascas, onde . Aqui, a superfície gaussiana esférica de raio envolve apenas a primeira casca, já que a segunda casca está fora dessa região. A carga interna à superfície gaussiana é apenas . Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é radial e tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos simplificar:
Então, o campo elétrico nessa região depende da carga e diminui com o quadrado da distância .
Passo 4
Por último, vamos considerar a região fora das duas cascas, onde . Nessa situação, a superfície gaussiana engloba ambas as cascas, então a carga total interna é . Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Simplificando da mesma forma que antes:
Portanto, fora das duas cascas, o campo elétrico depende da soma das cargas e e também diminui com o quadrado da distância .
Resposta
O campo elétrico nas diferentes regiões é dado por: