Um casca esférica isolante com raio interno r , raio externo R tem densidade volumétrica de carga igual a
, em que
é uma constante. a) Determine o campo elétrico na superfície da casca esférica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica isolante com raio interno
e raio externo
. A densidade volumétrica de carga é dada por
, onde
é uma constante. Nosso objetivo aqui é determinar o campo elétrico na superfície da casca esférica. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
(permitividade do vácuo). Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui,
é o campo elétrico e
é um elemento da área da superfície fechada.
Passo 3
Vamos calcular a carga total
presente na casca esférica. Como a densidade volumétrica de carga
varia com
, a gente precisa integrar essa densidade em todo o volume da casca para encontrar
.
A densidade é dada por
. Então, a carga total é:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Então, a carga total
é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico na superfície externa da casca (raio
). Como a casca é esférica e a distribuição de carga é simétrica, o campo elétrico
na superfície externa é dado por:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O campo elétrico na superfície da casca esférica é: