Um casca esférica isolante com raio interno r , raio externo R tem densidade volumétrica de carga igual a rho=k / r^3, em que k é uma constante. a) Determine o campo elétrico na superfície da casca esférica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica isolante com raio interno e raio externo . A densidade volumétrica de carga é dada por , onde é uma constante. Nosso objetivo aqui é determinar o campo elétrico na superfície da casca esférica. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 (permitividade do vácuo). Matematicamente, isso é escrito como:
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento da área da superfície fechada.

Passo 3

Vamos calcular a carga total Q = integralr^R rho cdot 4pi r^2 dr = integralr^R kr^3 cdot 4pi r^2 dr = 4pi k integralr^R 1r dr presente na casca esférica. Como a densidade volumétrica de carga varia com , a gente precisa integrar essa densidade em todo o volume da casca para encontrar .
A densidade é dada por . Então, a carga total é:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
4pi k integralr^R 1r dr = 4pi k [ ln r ]r^R = 4pi k (ln R - ln r) = 4pi k ln(Rr)
Então, a carga total Q = 4pi k ln(Rr) é:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico na superfície externa da casca (raio E cdot 4pi R^2 = Qvarepsilon0 ). Como a casca é esférica e a distribuição de carga é simétrica, o campo elétrico E cdot 4pi R^2 = 4pi k ln(Rr)varepsilon0 na superfície externa é dado por:
Substituindo :

Passo 6

Agora, resolvemos para E = 4pi k ln(Rr)4pi varepsilon0 R^2 = k ln(Rr)varepsilon0 R^2 :

Resposta

O campo elétrico na superfície da casca esférica é:
E = k ln(Rr)varepsilon0 R^2

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