Uma esfera 1, isolante e raio igual a r, tem carga elétrica de módulo igual a q1 e que está distribuída uniformemente no volume da esfera. A esfera 1 é envolvida pela esfera 2, isolante e com raio igual a R, com carga elétrica igual a q2, e que está distribuída uniformemente no volume da casca esférica. b) Determine o campo elétrico em um local em que r
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas esferas isolantes: a primeira, de raio
, com carga elétrica
distribuída de forma uniforme no volume. A segunda, de raio
, com carga elétrica
, distribuída uniformemente na casca esférica que envolve a primeira esfera. A parte (b) do exercício quer que a gente determine o campo elétrico em um ponto onde a distância
do centro está entre
e
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
(permitividade do vácuo). Matematicamente, fica assim:
Como temos simetria esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio
, onde
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície gaussiana. A carga total
será a soma da carga da esfera interna
e a parte da carga
da esfera externa que está dentro do raio
.
Vamos começar com
. Como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, a densidade de carga
é:
A carga da esfera externa que está dentro da superfície gaussiana (até o raio
) será proporcional ao volume dessa parte da casca. A densidade de carga da esfera externa
é:
A carga dentro de
da esfera externa é:
Passo 4
Agora, somamos as cargas para obter
:
Com isso, podemos aplicar a Lei de Gauss. O fluxo elétrico
através da superfície gaussiana é:
Igualando as duas expressões da Lei de Gauss:
Passo 5
Finalmente, isolamos o campo elétrico
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Mas, para deixar mais claro, vamos deixar a expressão original.
Resposta
O campo elétrico no ponto onde
é dado por:
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, em que
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