Uma esfera 1, isolante e raio igual a r, tem carga elétrica de módulo igual a q1 e que está distribuída uniformemente no volume da esfera. A esfera 1 é envolvida pela esfera 2, isolante e com raio igual a R, com carga elétrica igual a q2, e que está distribuída uniformemente no volume da casca esférica. b) Determine o campo elétrico em um local em que r .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas esferas isolantes: a primeira, de raio , com carga elétrica distribuída de forma uniforme no volume. A segunda, de raio , com carga elétrica , distribuída uniformemente na casca esférica que envolve a primeira esfera. A parte (b) do exercício quer que a gente determine o campo elétrico em um ponto onde a distância do centro está entre e , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante PhiE = oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 (permitividade do vácuo). Matematicamente, fica assim:
Como temos simetria esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio , onde .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga total dentro dessa superfície gaussiana. A carga total rho1 = q143pi r^3 será a soma da carga da esfera interna rho2 = q243pi (R^3 - r^3) e a parte da carga q2,dentro = rho2 times 43pi (d^3 - r^3) = q2R^3 - r^3 (d^3 - r^3) da esfera externa que está dentro do raio .
Vamos começar com . Como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, a densidade de carga é:
A carga da esfera externa que está dentro da superfície gaussiana (até o raio ) será proporcional ao volume dessa parte da casca. A densidade de carga da esfera externa é:
A carga dentro de da esfera externa é:

Passo 4

Agora, somamos as cargas para obter Qdentro = q1 + q2R^3 - r^3 (d^3 - r^3) :
PhiE = E times 4pi d^2
Com isso, podemos aplicar a Lei de Gauss. O fluxo elétrico E times 4pi d^2 = q1 + q2R^3 - r^3 (d^3 - r^3)varepsilon0 através da superfície gaussiana é:
Igualando as duas expressões da Lei de Gauss:

Passo 5

Finalmente, isolamos o campo elétrico E = q1 + q2R^3 - r^3 (d^3 - r^3)4pi varepsilon0 d^2 :
E = q14pi varepsilon0 d^2 + q2 (d^3 - r^3)4pi varepsilon0 d^2 (R^3 - r^3)
Podemos simplificar um pouco mais:
Mas, para deixar mais claro, vamos deixar a expressão original.

Resposta

O campo elétrico no ponto onde E = q1 + q2R^3 - r^3 (d^3 - r^3)4pi varepsilon0 d^2 é dado por:

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