Um casca esférica isolante tem raio igual a R e uma carga elétrica igual a +3
distribuída uniformemente na superfície da casca esférica. Uma partícula com carga elétrica igual a -10
encontra-se no centro da casca esférica. É possível determinar o raio da casca esférica para que o campo elétrico na superfície seja nulo? Justifique,
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica isolante com raio R e uma carga elétrica de +3 μC distribuída uniformemente na sua superfície. No centro dessa casca, há uma partícula com carga elétrica de -10 μC. A pergunta é: É possível encontrar o valor de R de forma que o campo elétrico na superfície da casca seja nulo?
Aqui, estamos trabalhando com Eletrostática, especificamente com o Campo Elétrico gerado por cargas em diferentes posições. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a uma carga distribuída em uma esfera e a uma carga pontual no centro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma casca esférica carregada. De acordo com a Lei de Gauss, o campo elétrico fora da casca (para r ≥ R) é equivalente ao campo gerado por uma carga pontual no centro da esfera com a mesma carga total. Já para r < R, ou seja, dentro da casca, o campo elétrico devido à casca é zero.
Já a partícula com carga -10 μC no centro gera um campo elétrico ao redor dela, que pode ser calculado usando a fórmula do campo elétrico para uma carga pontual:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga, -
é a distância do ponto considerado até a carga.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico na superfície da casca devido à carga na casca. Como a carga está distribuída uniformemente na superfície, para r = R, o campo elétrico é:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico na superfície da casca devido à carga no centro. A carga no centro é de:
O campo elétrico gerado por essa carga na superfície da casca (r = R) é:
Passo 5
Para que o campo elétrico total na superfície da casca seja nulo, os campos elétricos gerados pela casca e pela carga no centro devem se anular. Ou seja:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
A equação obtida no passo anterior mostra que:
Para que essa fração seja zero, o numerador deve ser zero, já que
é sempre positivo (R > 0). Porém, temos:
Isso significa que não existe um valor finito de R que satisfaça a condição de que o campo elétrico total na superfície da casca seja nulo.
Resposta
Não é possível determinar um raio finito R para a casca esférica que faça com que o campo elétrico na sua superfície seja nulo. Isso ocorre porque as cargas presentes geram campos elétricos que não se cancelam completamente para nenhum valor finito de R.