Um casca esférica isolante tem raio igual a R e uma carga elétrica igual a +3 mu C distribuída uniformemente na superfície da casca esférica. Uma partícula com carga elétrica igual a -10 mu C encontra-se no centro da casca esférica. É possível determinar o raio da casca esférica para que o campo elétrico na superfície seja nulo? Justifique,

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica isolante com raio R e uma carga elétrica de +3 μC distribuída uniformemente na sua superfície. No centro dessa casca, há uma partícula com carga elétrica de -10 μC. A pergunta é: É possível encontrar o valor de R de forma que o campo elétrico na superfície da casca seja nulo?
Aqui, estamos trabalhando com Eletrostática, especificamente com o Campo Elétrico gerado por cargas em diferentes posições. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico devido a uma carga distribuída em uma esfera e a uma carga pontual no centro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por uma casca esférica carregada. De acordo com a Lei de Gauss, o campo elétrico fora da casca (para r ≥ R) é equivalente ao campo gerado por uma carga pontual no centro da esfera com a mesma carga total. Já para r < R, ou seja, dentro da casca, o campo elétrico devido à casca é zero.
Já a partícula com carga -10 μC no centro gera um campo elétrico ao redor dela, que pode ser calculado usando a fórmula do campo elétrico para uma carga pontual:
E = k cdot |Q|r^2
onde:
  • é o campo elétrico,
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é a carga,
  • é a distância do ponto considerado até a carga.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico na superfície da casca devido à carga na casca. Como a carga está distribuída uniformemente na superfície, para r = R, o campo elétrico é:
Ecasca = k cdot QcascaR^2
Substituindo os valores:
Qcasca = +3 , muC = +3 times 10^-6 , C
Então:
Ecasca = 8.988 times 10^9 cdot 3 times 10^-6R^2 = 26.964 times 10^3R^2 , N/C

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico na superfície da casca devido à carga no centro. A carga no centro é de:
Qcentro = -10 , muC = -10 times 10^-6 , C
O campo elétrico gerado por essa carga na superfície da casca (r = R) é:
Ecentro = k cdot QcentroR^2 = 8.988 times 10^9 cdot (-10 times 10^-6)R^2 = -89.88 times 10^3R^2 , N/C

Passo 5

Para que o campo elétrico total na superfície da casca seja nulo, os campos elétricos gerados pela casca e pela carga no centro devem se anular. Ou seja:
Etotal = Ecasca + Ecentro = 0
Substituindo os valores:
26.964 times 10^3R^2 + -89.88 times 10^3R^2 = 0
Simplificando:
26.964 times 10^3 - 89.88 times 10^3R^2 = 0
-62.916 times 10^3R^2 = 0

Passo 6

A equação obtida no passo anterior mostra que:
-62.916 times 10^3R^2 = 0
Para que essa fração seja zero, o numerador deve ser zero, já que -62.916 times 10^3 neq 0 é sempre positivo (R > 0). Porém, temos:
Isso significa que não existe um valor finito de R que satisfaça a condição de que o campo elétrico total na superfície da casca seja nulo.

Resposta

Não é possível determinar um raio finito R para a casca esférica que faça com que o campo elétrico na sua superfície seja nulo. Isso ocorre porque as cargas presentes geram campos elétricos que não se cancelam completamente para nenhum valor finito de R.

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