Uma esfera isolante é construída de vidro e tem raio igual a 30 cm . b) A esfera adquire uma carga elétrica igual a
que distribui-se uniformemente no volume da esfera. Determine o campo elétrico em um local a 10 cm do centro da esfera.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante de vidro com raio de 30 cm que recebeu uma carga elétrica de
. Essa carga está distribuída de maneira uniforme pelo volume da esfera. A pergunta é: qual é o campo elétrico em um ponto que está a 10 cm do centro dessa esfera? Vamos usar conceitos de eletricidade estática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, podemos usar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico dentro da esfera. A lei de Gauss é ótima para situações com alta simetria, como esferas carregadas uniformemente.
Passo 3
A lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
(permitividade do vácuo). Matematicamente, isso é:
Passo 4
Como estamos procurando o campo elétrico a 10 cm do centro, que está dentro da esfera (já que a esfera tem 30 cm de raio), precisamos calcular a carga que está dentro de um raio de 10 cm. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro desse volume menor será proporcional ao volume.
Passo 5
O volume de uma esfera é dado por
. Então, a carga dentro de um raio
é:
onde:
-
é a carga total, -
é o raio da esfera, -
é a distância do centro onde queremos o campo.
Passo 6
Vamos converter todas as medidas para metros para facilitar os cálculos:
Agora, calculamos a carga dentro de 10 cm:
Passo 7
Agora aplicamos a lei de Gauss. Como a simetria é esférica, o campo elétrico
é o mesmo em todos os pontos a uma mesma distância do centro e é radial. O fluxo elétrico é então:
Igualando à carga interna sobre
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Sabendo que
, substituímos os valores:
Passo 9
Fazendo as contas:
Resposta
O campo elétrico a 10 cm do centro da esfera é aproximadamente
.
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