Uma esfera isolante é construída de vidro e tem raio igual a 30 cm . b) A esfera adquire uma carga elétrica igual a 2 mu C que distribui-se uniformemente no volume da esfera. Determine o campo elétrico em um local a 10 cm do centro da esfera.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante de vidro com raio de 30 cm que recebeu uma carga elétrica de . Essa carga está distribuída de maneira uniforme pelo volume da esfera. A pergunta é: qual é o campo elétrico em um ponto que está a 10 cm do centro dessa esfera? Vamos usar conceitos de eletricidade estática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, como a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, podemos usar a lei de Gauss para calcular o campo elétrico dentro da esfera. A lei de Gauss é ótima para situações com alta simetria, como esferas carregadas uniformemente.

Passo 3

A lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 (permitividade do vácuo). Matematicamente, isso é:

Passo 4

Como estamos procurando o campo elétrico a 10 cm do centro, que está dentro da esfera (já que a esfera tem 30 cm de raio), precisamos calcular a carga que está dentro de um raio de 10 cm. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro desse volume menor será proporcional ao volume.

Passo 5

O volume de uma esfera é dado por Qdentro = Q times ( r^3R^3 ) . Então, a carga dentro de um raio é:
onde:
  • é a carga total,
  • é o raio da esfera,
  • é a distância do centro onde queremos o campo.

Passo 6

Vamos converter todas as medidas para metros para facilitar os cálculos:
R = 0,30,m, r = 0,10,m
Agora, calculamos a carga dentro de 10 cm:
Qdentro = 2 times 10^-6,C times ( (0,10)^3(0,30)^3 ) = 2 times 10^-6,C times ( 0,0010,027 ) approx 7,407 times 10^-5,C

Passo 7

Agora aplicamos a lei de Gauss. Como a simetria é esférica, o campo elétrico oint E cdot dA = E times 4pi r^2 é o mesmo em todos os pontos a uma mesma distância do centro e é radial. O fluxo elétrico é então:
E times 4pi r^2 = Qdentrovarepsilon0
Igualando à carga interna sobre :

Passo 8

Resolvendo para E = Qdentro4pi varepsilon0 r^2 :
E = 7,407 times 10^-5,C4pi times 8,85 times 10^-12,C^2/Ncdotm^2 times (0,10,m)^2
Sabendo que , substituímos os valores:

Passo 9

Fazendo as contas:
E = 7,407 times 10^-54pi times 8,85 times 10^-12 times 0,01 approx 7,407 times 10^-51,11 times 10^-12 approx 6,67 times 10^7,N/C

Resposta

O campo elétrico a 10 cm do centro da esfera é aproximadamente .

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