Uma casca esférica não condutora de raio interno a e raio externo 2 a é uniformemente carregada. Sabendo que o potencial elétrico na posição r=2 a é V=rho0 a^23 varepsilon0, calcule o potencial elétrico nas regiões:
b) a,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma casca esférica não condutora com raio interno e raio externo , que está uniformemente carregada. A gente precisa calcular o potencial elétrico na região onde a distância do centro está entre e , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a fórmula do potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição de carga pode ser encontrado integrando a contribuição de todas as cargas. Porém, como a casca é esférica e a carga está distribuída uniformemente, a simetria nos ajuda a simplificar o cálculo.

Passo 3

Dentro da casca, ou seja, para Qdentro = rho0 cdot 43 pi r^3 , a densidade de carga volumétrica é . Precisamos calcular a carga total dentro de um raio . A carga é a densidade de carga multiplicada pelo volume da esfera de raio :

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 nessa região. A Lei de Gauss nos diz que:
E cdot 4pi r^2 = rho0 cdot 43 pi r^3varepsilon0
Como o campo elétrico é radial e constante na superfície esférica de raio E = rho0 r3 varepsilon0 , temos:
Simplificando, encontramos:

Passo 5

Para encontrar o potencial V(r) = - integral2a^r E , dr + V(2a) , lembramos que ele está relacionado ao campo elétrico através da integral:
V(r) = - integral2a^r rho0 r'3 varepsilon0 , dr' + rho0 a^23 varepsilon0
Sabemos que , então substituindo :

Passo 6

Calculando a integral:
V(r) = - rho03 varepsilon0 [ r'^22 ]2a^r + rho0 a^23 varepsilon0
V(r) = - rho06 varepsilon0 (r^2 - (2a)^2) + rho0 a^23 varepsilon0

Passo 7

Simplificando a expressão:
V(r) = rho06 varepsilon0 (4a^2 - r^2) + rho0 a^23 varepsilon0
V(r) = rho06 varepsilon0 (4a^2 - r^2 + 2a^2)
V(r) = rho06 varepsilon0 (6a^2 - r^2)
V(r) = rho0 (6a^2 - r^2)6 varepsilon0
V(r) = rho0 a^2varepsilon0 (1 - r^26a^2)

Resposta

O potencial elétrico para V(r) = rho0 (6a^2 - r^2)6 varepsilon0 é

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