Uma esfera maciça condutora de raio é carregada e colocada no interior de uma casca esférica condutora de raio interno e raio externo . A casca esférica é carregada com densidade de carga uniforme . Sabendo que o potencial elétrico na posição é , calcule o potencial elétrico nas regiões:
c) e
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora maciça de raio carregada, colocada dentro de uma casca esférica condutora com raio interno e raio externo . A casca tem uma densidade de carga uniforme . Nos foi dado que o potencial elétrico no ponto é . Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico na região onde o raio está entre e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico e, em seguida, integrar esse campo para encontrar o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico na região . Para isso, aplicamos a Lei de Gauss. Consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio nessa região. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 3
Vamos calcular na região . A carga total dentro da superfície gaussiana inclui a carga da esfera interna e a parte da casca interna à superfície gaussiana.
Sabemos que a casca tem densidade de carga uniforme , então a carga total da casca é:
No entanto, na região , apenas a parte da casca interna ao raio contribui para . Portanto, a carga da casca dentro do raio é:
Além disso, temos a carga da esfera interna . Sabemos que o potencial na superfície da esfera é . Para uma esfera condutora, o potencial é igual ao potencial devido à carga da esfera mais o potencial devido à casca. Porém, para simplificação, consideramos que a carga da esfera está relacionada com de forma consistente com o potencial dado.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Substituindo :
Resolvendo para :
Passo 5
Agora, precisamos relacionar com o potencial dado na superfície . Sabemos que o potencial devido à esfera condutora e à casca na superfície é:
Isso implica que:
Portanto, a esfera interna não contribui diretamente para o campo elétrico na região .
Passo 6
Com , o campo elétrico na região fica:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar o potencial elétrico na região , integramos o campo elétrico :
Primeiro, precisamos determinar . Na superfície , o potencial é contínuo, então:
Para simplificação, consideramos .
Passo 8
Agora, integramos o campo elétrico encontrado:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 9
Distribuindo o sinal negativo e juntando os termos:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, organizando os termos, temos o potencial elétrico na região :