Uma esfera maciça condutora de raio a é carregada e colocada no interior de uma casca esférica condutora de raio interno 2 a e raio externo 3 a. A casca esférica é carregada com densidade de carga uniforme rho0. Sabendo que o potencial elétrico na posição r=a é V=rho0 a^2varepsilon0 , calcule o potencial elétrico nas regiões:
c) 2 a e

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora maciça de raio carregada, colocada dentro de uma casca esférica condutora com raio interno e raio externo . A casca tem uma densidade de carga uniforme . Nos foi dado que o potencial elétrico no ponto é . Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico na região onde o raio está entre e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico e, em seguida, integrar esse campo para encontrar o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico na região oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 . Para isso, aplicamos a Lei de Gauss. Consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio nessa região. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Vamos calcular Qcasca = rho0 cdot Volume da casca = rho0 cdot ( 43pi (3a)^3 - 43pi (2a)^3 ) = rho0 cdot 43pi (27a^3 - 8a^3) = rho0 cdot 43pi (19a^3) = 763pi rho0 a^3 na região Qcascadentro = rho0 cdot 43pi (r^3 - (2a)^3) = rho0 cdot 43pi (r^3 - 8a^3) . A carga total dentro da superfície gaussiana inclui a carga da esfera interna e a parte da casca interna à superfície gaussiana.
Sabemos que a casca tem densidade de carga uniforme , então a carga total da casca é:
No entanto, na região , apenas a parte da casca interna ao raio contribui para . Portanto, a carga da casca dentro do raio é:
Além disso, temos a carga da esfera interna . Sabemos que o potencial na superfície da esfera é . Para uma esfera condutora, o potencial é igual ao potencial devido à carga da esfera mais o potencial devido à casca. Porém, para simplificação, consideramos que a carga da esfera está relacionada com de forma consistente com o potencial dado.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
Substituindo E cdot 4pi r^2 = Qesfera + 43pi rho0 (r^3 - 8a^3)varepsilon0 :
E = Qesfera + 43pi rho0 (r^3 - 8a^3)4pi varepsilon0 r^2 = Qesfera4pi varepsilon0 r^2 + rho0 (r^3 - 8a^3)3 varepsilon0 r^2
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, precisamos relacionar V = Qesfera4pi varepsilon0 a + rho0 a^2varepsilon0 = rho0 a^2varepsilon0 com o potencial dado na superfície Qesfera4pi varepsilon0 a = 0 implies Qesfera = 0 . Sabemos que o potencial devido à esfera condutora e à casca na superfície é:
Isso implica que:
Portanto, a esfera interna não contribui diretamente para o campo elétrico na região .

Passo 6

Com E = rho0 (r^3 - 8a^3)3 varepsilon0 r^2 = rho0 (r - 8a^3r^2)3 varepsilon0 , o campo elétrico na região E = rho03 varepsilon0 ( r - 8a^3r^2 ) fica:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o potencial elétrico V(r) = - integral2a^r E(r') dr' + V(2a) na região V(2a) = rho0 a^2varepsilon0 + contribuição da casca , integramos o campo elétrico :
Primeiro, precisamos determinar . Na superfície , o potencial é contínuo, então:
çã
Para simplificação, consideramos .

Passo 8

Agora, integramos o campo elétrico encontrado:
V(r) = - integral2a^r rho03 varepsilon0 ( r' - 8a^3r'^2 ) dr' + rho0 a^2varepsilon0
Integrando termo a termo:
V(r) = - rho03 varepsilon0 ( r'^22 + 8a^3r' ) g|2a^r + rho0 a^2varepsilon0
Calculando as integrais:
V(r) = - rho03 varepsilon0 ( r^22 + 8a^3r - (2a)^22 - 8a^32a ) + rho0 a^2varepsilon0
Simplificando:
V(r) = - rho03 varepsilon0 ( r^22 + 8a^3r - 2a^2 - 4a^2 ) + rho0 a^2varepsilon0
V(r) = - rho03 varepsilon0 ( r^22 + 8a^3r - 6a^2 ) + rho0 a^2varepsilon0

Passo 9

Distribuindo o sinal negativo e juntando os termos:
V(r) = - rho0 r^26 varepsilon0 - 8 rho0 a^33 varepsilon0 r + 6 rho0 a^23 varepsilon0 + rho0 a^2varepsilon0
Simplificando:
V(r) = - rho0 r^26 varepsilon0 - 8 rho0 a^33 varepsilon0 r + 2 rho0 a^2varepsilon0 + rho0 a^2varepsilon0
V(r) = - rho0 r^26 varepsilon0 - 8 rho0 a^33 varepsilon0 r + 3 rho0 a^2varepsilon0

Passo 10

Finalmente, organizando os termos, temos o potencial elétrico na região V(r) = 3 rho0 a^2varepsilon0 - rho0 r^26 varepsilon0 - 8 rho0 a^33 varepsilon0 r :

Resposta

O potencial elétrico na região V(r) = 3 rho0 a^2varepsilon0 - rho0 r^26 varepsilon0 - 8 rho0 a^33 varepsilon0 r é dado por:

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