Uma casca esférica de raio interno
e raio externo
, uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica
, envolve uma esfera concêntrica de raio
, também carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço: (a)
, (b)
, (a)
, (a)
. Para saber se suas respostas são coerentes, verifique a continuidade do campo elétrico nas fronteiras dos materiais.
Passo 1
Beleza, o problema está pedindo para calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes ao redor de duas esferas concêntricas: uma esfera sólida de raio
e uma casca esférica ao redor dela, com raio interno
e raio externo
. Ambas têm uma densidade de carga volumétrica uniforme
. Vamos usar a Lei de Gauss para resolver isso, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico a partir da distribuição de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a região
, que está dentro da esfera sólida. Aqui, só precisamos considerar a carga dentro de um raio
. A carga total dentro desse raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é radial e simétrico:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, para a região
, que está entre a esfera sólida e a casca esférica. Aqui, a carga está apenas na esfera de raio
. A carga total da esfera sólida é:
Usando a Lei de Gauss novamente:
Então,
Passo 4
Para a região
, que está dentro da casca esférica. Aqui, além da carga da esfera interna, também temos parte da carga da casca até o raio
. A carga na casca até
é:
A carga total dentro de
é a soma das cargas da esfera e da casca:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, para a região
, que está fora da casca esférica. Toda a carga da esfera e da casca está dentro dessa região. A carga total é:
Usando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico nas quatro regiões é dado por:
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
:
d) Para
:
Além disso, as soluções são contínuas nas fronteiras
,
e
, confirmando a coerência dos resultados.