Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c, uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica rho, envolve uma esfera concêntrica de raio a, também carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço: (a) 0 <= r <= a, (b) a <= r <= b, (a) b <= r <= c, (a) c <= r. Para saber se suas respostas são coerentes, verifique a continuidade do campo elétrico nas fronteiras dos materiais.

Passo 1

Beleza, o problema está pedindo para calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes ao redor de duas esferas concêntricas: uma esfera sólida de raio e uma casca esférica ao redor dela, com raio interno e raio externo . Ambas têm uma densidade de carga volumétrica uniforme . Vamos usar a Lei de Gauss para resolver isso, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico a partir da distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a região Qinterno = rho cdot 43 pi r^3 , que está dentro da esfera sólida. Aqui, só precisamos considerar a carga dentro de um raio oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0 . A carga total dentro desse raio é:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43 pi r^3varepsilon0
Aplicando a Lei de Gauss:
E = rho r3 varepsilon0
Como o campo elétrico é radial e simétrico:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, para a região Qesfera = rho cdot 43 pi a^3 , que está entre a esfera sólida e a casca esférica. Aqui, a carga está apenas na esfera de raio E cdot 4pi r^2 = Qesferavarepsilon0 . A carga total da esfera sólida é:
E = rho a^33 varepsilon0 r^2
Usando a Lei de Gauss novamente:
Então,

Passo 4

Para a região Qcasca = rho cdot 43 pi (r^3 - b^3) , que está dentro da casca esférica. Aqui, além da carga da esfera interna, também temos parte da carga da casca até o raio Qtotal = rho cdot 43 pi a^3 + rho cdot 43 pi (r^3 - b^3) = rho cdot 43 pi (a^3 + r^3 - b^3) . A carga na casca até E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43 pi (a^3 + r^3 - b^3)varepsilon0 é:
E = rho (a^3 + r^3 - b^3)3 varepsilon0 r^2
A carga total dentro de é a soma das cargas da esfera e da casca:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, para a região Qtotal = rho cdot 43 pi a^3 + rho cdot 43 pi (c^3 - b^3) = rho cdot 43 pi (a^3 + c^3 - b^3) , que está fora da casca esférica. Toda a carga da esfera e da casca está dentro dessa região. A carga total é:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43 pi (a^3 + c^3 - b^3)varepsilon0
Usando a Lei de Gauss:
E = rho (a^3 + c^3 - b^3)3 varepsilon0 r^2
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico nas quatro regiões é dado por:
a) Para E = rho r3 varepsilon0 :
E = rho a^33 varepsilon0 r^2
b) Para E = rho (a^3 + r^3 - b^3)3 varepsilon0 r^2 :
E = rho (a^3 + c^3 - b^3)3 varepsilon0 r^2
c) Para :
d) Para :
Além disso, as soluções são contínuas nas fronteiras , e , confirmando a coerência dos resultados.

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