Uma casca esférica de raio interno e raio externo , uniformemente carregada com densidade de carga volumétrica , envolve uma esfera concêntrica de raio , também carregada uniformemente com a mesma densidade. Calcule o campo elétrico nas quatro regiões diferentes do espaço: (a) , (b) , (a) , (a) . Para saber se suas respostas são coerentes, verifique a continuidade do campo elétrico nas fronteiras dos materiais.

Passo 1

Beleza, o problema está pedindo para calcular o campo elétrico em quatro regiões diferentes ao redor de duas esferas concêntricas: uma esfera sólida de raio e uma casca esférica ao redor dela, com raio interno e raio externo . Ambas têm uma densidade de carga volumétrica uniforme . Vamos usar a Lei de Gauss para resolver isso, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico a partir da distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a região , que está dentro da esfera sólida. Aqui, só precisamos considerar a carga dentro de um raio . A carga total dentro desse raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico é radial e simétrico:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, para a região , que está entre a esfera sólida e a casca esférica. Aqui, a carga está apenas na esfera de raio . A carga total da esfera sólida é:
Usando a Lei de Gauss novamente:
Então,

Passo 4

Para a região , que está dentro da casca esférica. Aqui, além da carga da esfera interna, também temos parte da carga da casca até o raio . A carga na casca até é:
A carga total dentro de é a soma das cargas da esfera e da casca:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, para a região , que está fora da casca esférica. Toda a carga da esfera e da casca está dentro dessa região. A carga total é:
Usando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico nas quatro regiões é dado por:
a) Para :
b) Para :
c) Para :
d) Para :
Além disso, as soluções são contínuas nas fronteiras , e , confirmando a coerência dos resultados.

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